Questão 176 do ENEM 2010 — Matemática

Lendo o gráfico

O gráfico relaciona o consumo de água (em $\text{m}^3$, eixo horizontal) com o valor pago (em reais, eixo vertical). Ele é formado por segmentos de reta, ou seja, a tarifa muda conforme a faixa de consumo. Pela figura, os pontos que delimitam os trechos são: um trecho fixo em R$ 10,00 até $10\text{ m}^3$; depois a linha sobe do ponto $(10;\,10)$ até $(15;\,15)$; e, por fim, sobe de $(15;\,15)$ até $(20;\,25)$.

Identificando a faixa da conta de R$ 19,00

O morador pagou R$ 19,00. No eixo vertical, esse valor está entre R$ 15,00 e R$ 25,00 — portanto ele cai no terceiro segmento do gráfico, aquele que liga os pontos $(15;\,15)$ e $(20;\,25)$. Isso significa que o consumo está entre $15\text{ m}^3$ e $20\text{ m}^3$.

Calculando o consumo exato

Nesse trecho, quando o consumo vai de $15\text{ m}^3$ para $20\text{ m}^3$ (aumento de $5\text{ m}^3$), o valor sobe de R$ 15,00 para R$ 25,00 (aumento de R$ 10,00). A taxa de variação (quanto custa cada metro cúbico a mais) é: $\text{taxa} = \frac{25 - 15}{20 - 15} = \frac{10}{5} = 2$

Ou seja, nessa faixa cada $1\text{ m}^3$ a mais custa R$ 2,00.

A conta de R$ 19,00 representa R$ 4,00 acima do valor inicial dessa faixa (R$ 15,00). Como cada metro cúbico extra custa R$ 2,00, o consumo além dos $15\text{ m}^3$ é: $\text{consumo extra} = \frac{4}{2} = 2\text{ m}^3$

Somando ao início da faixa: $\text{consumo total} = 15 + 2 = 17\text{ m}^3$

Conferindo pela equação da reta

Podemos escrever a reta do trecho como $y = ax + b$, com inclinação $a = 2$. Usando o ponto $(15;\,15)$: $15 = 2 \cdot 15 + b \implies 15 = 30 + b \implies b = -15$

Logo, nesse trecho $y = 2x - 15$. Fazendo $y = 19$: $19 = 2x - 15$ $2x = 34$ $x = 17\text{ m}^3$

Os dois caminhos levam ao mesmo resultado: o morador consumiu $17\text{ m}^3$ de água, o que corresponde à alternativa B.