Questão 156 do ENEM 2012 — Matemática

O salário do vendedor tem uma parte fixa e uma comissão que muda conforme a quantidade vendida, então é uma função definida por partes. Vamos montar essa função e ver que forma o gráfico deve ter.

Vendas de 0 a 100 produtos

O vendedor recebe um fixo de R$ 750,00 mais R$ 3,00 por produto, até 100 produtos. Chamando de $x$ a quantidade vendida e $S(x)$ o salário, para $0 \le x \le 100$:

$S(x) = 750 + 3x$

Calculando os extremos do intervalo:

• Sem vender nada ($x = 0$): $S(0) = 750 + 3 \cdot 0 = 750$. O gráfico começa em $(0,\ 750)$.
• Vendendo 100 produtos ($x = 100$): $S(100) = 750 + 3 \cdot 100 = 1050$. O gráfico passa por $(100,\ 1050)$.

Esse é um segmento de reta ligando $(0,\ 750)$ a $(100,\ 1050)$.

Vendas acima de 100 produtos

A partir do 101º produto, a comissão sobe para R$ 9,00 por produto. Como os primeiros 100 já renderam R$ 1.050,00, o excedente ($x - 100$) rende R$ 9,00 cada. Para $x > 100$:

$S(x) = 1050 + 9(x - 100)$

Calculando em $x = 200$:

$S(200) = 1050 + 9(200 - 100) = 1050 + 900 = 1950$

O gráfico passa por $(200,\ 1950)$.

Como a comissão passou de R$ 3,00 para R$ 9,00, a taxa de crescimento aumenta: a reta fica mais inclinada a partir de $x = 100$.

O gráfico correto

Resumindo, o gráfico procurado deve satisfazer três condições:

1. Iniciar no eixo vertical em $750$.
2. Ter inclinação suave até o ponto $(100,\ 1050)$, um pouco acima de $1000$.
3. A partir de $x = 100$, seguir com inclinação mais acentuada até $(200,\ 1950)$, um pouco abaixo de $2000$.

A alternativa que apresenta uma reta que parte de $750$, muda para uma inclinação maior em $x = 100$ e cresce até perto de $2000$ em $x = 200$ é a alternativa E. As demais falham em algum desses critérios (reta única sem quebra, quebra invertida, salário constante no início ou salário totalmente fixo).