Questão 154 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a magnitude local ($M_s$) do terremoto utilizando a fórmula fornecida e, em seguida, classificar o resultado de acordo com a tabela.

A fórmula dada é: $M_s = 3,30 + \log(A \cdot f)$

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

• Amplitude máxima ($A$): $2000 \text{ } \mu\text{m}$
• Frequência ($f$): $0,2 \text{ Hz}$
• Aproximação para o logaritmo: $\log(2) \approx 0,3$

Primeiro, vamos calcular o produto entre a amplitude e a frequência que está dentro do logaritmo: $A \cdot f = 2000 \cdot 0,2 = 400$

Agora, substituímos esse valor na fórmula da magnitude: $M_s = 3,30 + \log(400)$

O próximo desafio é calcular o valor de $\log(400)$. Como a questão nos deu apenas o valor de $\log(2)$, precisamos reescrever o número $400$ de uma forma que possamos usar as propriedades dos logaritmos. Sabemos que $400$ pode ser escrito como $4 \cdot 100$, e que $4$ é $2^2$ e $100$ é $10^2$. Assim: $\log(400) = \log(4 \cdot 100) = \log(2^2 \cdot 10^2)$

Agora, aplicamos duas propriedades fundamentais dos logaritmos:

1. Logaritmo do produto: $\log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y)$
2. Logaritmo da potência: $\log(x^n) = n \cdot \log(x)$

Aplicando a propriedade do produto: $\log(400) = \log(2^2) + \log(10^2)$

Aplicando a propriedade da potência (a famosa "regra do tombo"): $\log(400) = 2 \cdot \log(2) + 2 \cdot \log(10)$

Sabemos pelo enunciado que $\log(2) = 0,3$. Além disso, como estamos trabalhando com logaritmos na base $10$, sabemos que $\log(10) = 1$. Substituindo esses valores: $\log(400) = 2 \cdot 0,3 + 2 \cdot 1$ $\log(400) = 0,6 + 2 = 2,6$

Com o valor do logaritmo em mãos, voltamos à fórmula original para encontrar a magnitude final do terremoto: $M_s = 3,30 + 2,6$ $M_s = 5,9$

Por fim, consultamos a tabela fornecida no enunciado para classificar o terremoto. O valor $M_s = 5,9$ se encaixa no intervalo $5,0 \leq M_s \leq 5,9$, que corresponde à descrição de um terremoto Moderado.

Portanto, a alternativa correta é a C.