Questão 143 do ENEM 2020 — Matemática

Entendendo o problema

O enunciado nos diz que o peso de um objeto é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado do seu raio. Podemos escrever isso matematicamente como: $P = k \cdot \frac{M}{R^2}$ onde $P$ é o peso, $M$ é a massa do planeta, $R$ é o raio do planeta e $k$ é uma constante de proporcionalidade (que, na Física, engloba a massa do objeto e a constante da gravitação universal, mas para nós basta saber que ela será a mesma nos dois planetas).

Dados do problema

Para a Terra, o peso do objeto é $P$: $P = k \cdot \frac{M_T}{R_T^2}$

Para Mercúrio, o enunciado nos fornece as seguintes relações em comparação com a Terra:

• Massa de Mercúrio: $M_M = \frac{1}{20} M_T$
• Raio de Mercúrio: $R_M = \frac{2}{5} R_T$

Calculando o peso em Mercúrio

Vamos chamar o peso do objeto em Mercúrio de $P_M$. Usando a mesma relação de proporcionalidade, temos: $P_M = k \cdot \frac{M_M}{R_M^2}$

Agora, substituímos as informações dadas para a massa e o raio de Mercúrio: $P_M = k \cdot \frac{\frac{1}{20} M_T}{\left(\frac{2}{5} R_T\right)^2}$

Primeiro, resolvemos a potência no denominador, elevando tanto a fração quanto o raio ao quadrado: $\left(\frac{2}{5} R_T\right)^2 = \frac{4}{25} R_T^2$

Substituindo esse resultado de volta na equação do peso: $P_M = k \cdot \frac{\frac{1}{20} M_T}{\frac{4}{25} R_T^2}$

Podemos reorganizar essa expressão separando a parte algébrica (que corresponde ao peso na Terra) das frações numéricas: $P_M = \left( k \cdot \frac{M_T}{R_T^2} \right) \cdot \frac{\frac{1}{20}}{\frac{4}{25}}$

Como sabemos que $P = k \cdot \frac{M_T}{R_T^2}$, podemos substituir toda a expressão entre parênteses por $P$: $P_M = P \cdot \frac{\frac{1}{20}}{\frac{4}{25}}$

Para resolver a divisão de frações, a regra é conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda: $P_M = P \cdot \left( \frac{1}{20} \cdot \frac{25}{4} \right)$

Multiplicando os numeradores entre si e os denominadores entre si: $P_M = P \cdot \frac{25}{80}$

Por fim, simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por $5$: $P_M = P \cdot \frac{5}{16} = \frac{5P}{16}$

Portanto, o peso do objeto na superfície de Mercúrio será $\frac{5P}{16}$.