Questão 165 do ENEM 2013 — Matemática

Esta é uma questão de análise combinatória com uma pegadinha importante: como a joia é um objeto físico, colorações que ficam idênticas ao girar ou virar a peça contam como uma única joia.

Pela figura da questão, a joia tem o formato de um losango com quatro vértices — vamos chamá-los de $A$, $B$, $C$ e $D$ — e o artesão dispõe de $3$ cores. A regra dada é que vértices vizinhos (ligados por um lado) não podem ter a mesma cor. Note que $A$ e $C$ são vértices opostos (não vizinhos), assim como $B$ e $D$.

Total de colorações possíveis

Vamos contar de quantas formas podemos colorir os vértices respeitando a restrição, separando em casos conforme os vértices opostos $A$ e $C$.

Caso 1: $A$ e $C$ recebem a mesma cor

• Cor de $A$: $3$ opções.
• Cor de $C$: já definida (igual a $A$), $1$ opção.
• $B$ é vizinho de $A$ e de $C$, então deve diferir dessa cor: $2$ opções.
• $D$ também é vizinho de $A$ e de $C$: $2$ opções.

Total do caso: $3 \times 1 \times 2 \times 2 = 12$.

Caso 2: $A$ e $C$ recebem cores diferentes

• Cor de $A$: $3$ opções.
• Cor de $C$: diferente de $A$, $2$ opções.
• $B$ deve diferir de $A$ e de $C$; como essas já são duas cores distintas das $3$, resta $1$ opção.
• $D$ pela mesma razão: $1$ opção.

Total do caso: $3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$.

Somando: $12 + 6 = 18$ colorações. Mas esse ainda não é o número de joias, porque falta descontar as simetrias.

Descontando as simetrias

O losango pode ser virado de cabeça para baixo (o que troca $A$ com $C$) ou virado lateralmente (o que troca $B$ com $D$). Colorações que coincidem após esses movimentos representam a mesma joia. Vamos agrupar as $18$ colorações.

Grupo 1 — $A=C$ e $B=D$: escolhemos uma cor para o par $A,C$ ($3$ opções) e outra para o par $B,D$ ($2$ opções): $3 \times 2 = 6$ colorações. Virar a peça não muda nada, pois os opostos já são iguais. São $6$ joias distintas.

Grupo 2 — $A=C$ e $B \neq D$: cor de $A,C$ ($3$), cor de $B$ ($2$), cor de $D$ ($1$): $3 \times 2 \times 1 = 6$ colorações. Virar lateralmente troca $B$ com $D$; como são diferentes, cada joia aparece contada duas vezes. São $6/2 =$ $3$ joias distintas.

Grupo 3 — $A \neq C$ e $B=D$: cor de $B,D$ ($3$), cor de $A$ ($2$), cor de $C$ ($1$): $3 \times 2 \times 1 = 6$ colorações. Virar de cabeça para baixo troca $A$ com $C$; pela mesma lógica, cada joia é contada duas vezes. São $6/2 =$ $3$ joias distintas.

Não existe o caso $A \neq C$ e $B \neq D$ simultaneamente: só há $3$ cores, e se $A$, $C$ já usam duas cores distintas, tanto $B$ quanto $D$ são forçados à terceira cor (ficando $B=D$). Logo os três grupos cobrem exatamente as $18$ colorações ($6+6+6=18$).

Conclusão

Somando as joias distintas de cada grupo: $6 + 3 + 3 = 12 \text{ joias diferentes.}$

O gabarito é a letra B.