Questão 174 do ENEM 2018 — Matemática

O problema nos pede para descobrir em que ano a densidade de transistores em um processador atingirá a marca de $100$ bilhões de transistores por centímetro quadrado. Para isso, precisamos modelar o crescimento dessa densidade ao longo do tempo usando a Lei de Moore.

Entendendo os Dados Iniciais

Primeiro, precisamos calcular a densidade inicial de transistores no ano de $1986$. A densidade é a razão entre o número de transistores e a área em que estão distribuídos.

Temos:

• Número de transistores em $1986$: $100.000 = 10^5$
• Área: $0,25 \text{ cm}^2 = \frac{1}{4} \text{ cm}^2$

A densidade inicial ($D_0$) será: $D_0 = \frac{10^5}{0,25} = \frac{10^5}{\frac{1}{4}} = 4 \cdot 10^5 \text{ transistores/cm}^2$

A meta é atingir uma densidade final ($D$) de $100$ bilhões de transistores por centímetro quadrado. Lembrando que $1$ bilhão equivale a $10^9$, temos: $D = 100 \cdot 10^9 = 10^{11} \text{ transistores/cm}^2$

Modelando o Crescimento Exponencial

O enunciado afirma que a densidade dobra a cada dois anos. Isso caracteriza um crescimento exponencial de base $2$. Podemos escrever a função da densidade $D(t)$ em relação ao tempo $t$ (em anos passados desde $1986$) da seguinte forma: $D(t) = D_0 \cdot 2^{\frac{t}{2}}$

O expoente é $\frac{t}{2}$ porque a dobra ocorre a cada $2$ anos.

Resolvendo a Equação

Substituindo os valores que encontramos na equação, temos: $10^{11} = 4 \cdot 10^5 \cdot 2^{\frac{t}{2}}$

Nosso objetivo é isolar o $t$. Vamos começar passando o termo $4 \cdot 10^5$ dividindo para o outro lado: $2^{\frac{t}{2}} = \frac{10^{11}}{4 \cdot 10^5}$

Usando as propriedades de potências (divisão de mesma base, subtraímos os expoentes), simplificamos a fração: $2^{\frac{t}{2}} = \frac{10^6}{4}$

Como a incógnita $t$ está no expoente, a ferramenta matemática adequada para "descê-la" é o logaritmo. Vamos aplicar o logaritmo na base $10$ em ambos os lados da equação: $\log\left(2^{\frac{t}{2}}\right) = \log\left(\frac{10^6}{4}\right)$

Aplicando a propriedade do "tombo" (ou potência) no lado esquerdo e a propriedade do quociente no lado direito: $\frac{t}{2} \cdot \log(2) = \log(10^6) - \log(4)$

Sabemos que $\log(4) = \log(2^2) = 2 \cdot \log(2)$. O enunciado nos diz para usar $\log(2) \approx 0,30$. Além disso, $\log(10^6) = 6 \cdot \log(10) = 6 \cdot 1 = 6$. Substituindo esses valores: $\frac{t}{2} \cdot 0,30 = 6 - 2 \cdot 0,30$ $t \cdot 0,15 = 6 - 0,60$ $0,15 \cdot t = 5,4$

Agora, basta isolar o $t$: $t = \frac{5,4}{0,15}$

Para facilitar a divisão, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $100$: $t = \frac{540}{15} = 36 \text{ anos}$

Conclusão

Descobrimos que levará $36$ anos a partir de $1986$ para que a densidade atinja $100$ bilhões de transistores por centímetro quadrado. Para encontrar o ano exato, basta somar esse tempo ao ano inicial: $\text{Ano} = 1986 + 36 = 2022$

Portanto, a empresa atingiu essa densidade no ano de $2022$.