Questão 151 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver esse problema, precisamos comparar os volumes da leiteira e do copinho, que têm o formato de cilindros. O volume de um cilindro é calculado pela fórmula:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura. É importante lembrar que a figura fornece os diâmetros, então devemos dividi-los por $2$ para obter os raios.

Calculando os volumes

Usando as medidas indicadas na figura:

1. Volume da leiteira ($V_L$):

• Segundo a figura, o diâmetro é $8\text{ cm}$, logo o raio é $R = 4\text{ cm}$.
• A altura indicada é $H = 20\text{ cm}$.
• Aplicando na fórmula: $V_L = \pi \cdot 4^2 \cdot 20 = \pi \cdot 16 \cdot 20 = 320\pi\text{ cm}^3$

2. Volume do copinho ($V_C$):

• Segundo a figura, o diâmetro é $4\text{ cm}$, logo o raio é $r = 2\text{ cm}$.
• A altura indicada é $h = 4\text{ cm}$.
• Aplicando na fórmula: $V_C = \pi \cdot 2^2 \cdot 4 = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi\text{ cm}^3$

Comparando os volumes

Vamos descobrir a relação entre o volume da leiteira e o do copinho dividindo um pelo outro:

$\frac{V_L}{V_C} = \frac{320\pi}{16\pi} = 20$

Isso significa que a leiteira tem um volume $20$ vezes maior que o volume do copo.

Analisando a necessidade de café

O enunciado diz que a diarista deseja encher $20$ copinhos pela metade.

Se ela fosse encher os $20$ copinhos inteiros, precisaria de um volume igual a $20$ vezes o volume de um copinho — o que corresponde exatamente ao volume de uma leiteira inteira.

Como ela quer encher os copinhos apenas pela metade, precisará de metade desse volume total. Ou seja, deverá encher a leiteira apenas até a metade.

Podemos confirmar isso com um cálculo direto do volume necessário:

• Volume para $1$ copinho pela metade: $\frac{16\pi}{2} = 8\pi\text{ cm}^3$
• Volume para $20$ copinhos pela metade: $20 \cdot 8\pi = 160\pi\text{ cm}^3$

Como a leiteira cheia comporta $320\pi\text{ cm}^3$, o volume de $160\pi\text{ cm}^3$ corresponde exatamente à metade da sua capacidade ($\frac{160\pi}{320\pi} = \frac{1}{2}$).

Portanto, Dona Maria deverá encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume $20$ vezes maior que o volume do copo.