Questão 180 do ENEM 2016 — Matemática

Para descobrir o termo geral da sequência anotada pelo estagiário, precisamos primeiro entender os instantes em que cada grupo bate palmas.

O enunciado nos diz que todos os grupos começam a bater palmas no instante $t = 1\text{ s}$. A partir desse momento, cada grupo tem um intervalo diferente para bater palmas novamente:

• O grupo A bate palmas a cada $2\text{ s}$.
• O grupo B bate palmas a cada $3\text{ s}$.
• O grupo C bate palmas a cada $4\text{ s}$.

Para que os três grupos batam palmas simultaneamente, o tempo decorrido desde a primeira palma ($t = 1\text{ s}$) deve ser um múltiplo comum dos três intervalos: $2$, $3$ e $4$.

Para encontrar o menor intervalo de tempo em que isso acontece, calculamos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre esses valores: $\text{MMC}(2, 3, 4) = 12$

Isso significa que, após a primeira palma conjunta, os três grupos voltarão a bater palmas juntos a cada $12\text{ s}$.

Podemos listar os instantes em que isso ocorre. O primeiro instante é $t = 1\text{ s}$. Somando $12\text{ s}$ sucessivamente, temos a seguinte sequência de tempos:

• 1º instante ($n=1$): $1\text{ s}$
• 2º instante ($n=2$): $1 + 12 = 13\text{ s}$
• 3º instante ($n=3$): $13 + 12 = 25\text{ s}$
• 4º instante ($n=4$): $25 + 12 = 37\text{ s}$
• 5º instante ($n=5$): $37 + 12 = 49\text{ s}$
• 6º instante ($n=6$): $49 + 12 = 61\text{ s}$

Como a atividade se encerra quando o cronômetro registra $60\text{ s}$, o 6º instante não entra na nossa sequência. Logo, a sequência tem exatamente $5$ termos, ou seja, a posição $n$ varia de $1$ a $5$.

Note que os instantes formam uma Progressão Aritmética (PA) onde o primeiro termo é $a_1 = 1$ e a razão é $r = 12$. A fórmula do termo geral de uma PA é dada por: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores que encontramos: $a_n = 1 + (n - 1) \cdot 12$ $a_n = 12(n - 1) + 1$

Como vimos, essa sequência ocorre apenas até o tempo limite de $60\text{ s}$, o que nos restringe a $5$ termos. Portanto, $n$ é um número natural tal que $1 \le n \le 5$. Isso corresponde exatamente à alternativa D.