Questão 174 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como funciona a representação de informações usando bits. O enunciado nos diz que cada bit pode assumir dois valores ($0$ ou $1$) e que uma sequência de $8$ bits pode representar $2^8$ informações distintas.

Isso ocorre porque, pelo Princípio Fundamental da Contagem, se temos $n$ posições (bits) e cada uma pode ser preenchida de $2$ maneiras, o total de combinações possíveis é dado por $2^n$.

O problema propõe um novo padrão onde um byte seja capaz de representar pelo menos $2560$ informações distintas. Portanto, precisamos encontrar o menor número inteiro de bits, que chamaremos de $n$, tal que o número de combinações possíveis seja maior ou igual a $2560$. Matematicamente, queremos encontrar $n$ tal que: $2^n \ge 2560$

Para encontrar esse valor, podemos calcular as potências de $2$ sucessivamente, partindo do valor que já conhecemos ($2^8 = 256$):

• $2^9 = 256 \times 2 = 512$
• $2^{10} = 512 \times 2 = 1024$
• $2^{11} = 1024 \times 2 = 2048$
• $2^{12} = 2048 \times 2 = 4096$

Observe que com $11$ bits, conseguimos representar apenas $2048$ informações, o que não é suficiente, pois precisamos de pelo menos $2560$. Já com $12$ bits, conseguimos representar $4096$ informações, o que atende perfeitamente à exigência do novo padrão.

Logo, para que o novo byte represente pelo menos $2560$ informações distintas, o número de bits deve passar de $8$ para $12$.