Questão 138 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos usar a nossa imaginação espacial e "desmontar" o bebedouro 3, um processo que na matemática chamamos de planificação.

Entendendo o formato do bebedouro

Observando a figura, notamos que o bebedouro 3 tem o formato de um semicilindro (a metade de um cilindro cortado ao meio ao longo do seu comprimento). O enunciado também nos dá uma informação crucial: nenhum dos recipientes tem tampa. Isso significa que a parte plana superior (que seria um grande retângulo) não existe.

Se fôssemos fabricar esse bebedouro usando uma chapa de metal, precisaríamos de três peças:

1. Duas bases: que ficam nas extremidades e têm o formato de semicírculos (meias-luas).
2. Uma superfície lateral: que é a parte curva onde a água fica apoiada. Se você pegar essa chapa curva e esticá-la sobre uma mesa, ela formará um retângulo.

Só com essa análise visual, já podemos eliminar algumas alternativas:

• A Alternativa A mostra um setor circular (fatia de pizza), o que está incorreto.
• A Alternativa B mostra um trapézio, o que seria a planificação de um tronco de cone (como os bebedouros 1 e 2), não de um cilindro.
• A Alternativa C mostra círculos inteiros nas bases, mas nosso bebedouro é um semicilindro, então precisamos de semicírculos.

Ficamos entre as alternativas D e E. Para decidir, precisamos analisar as medidas.

Calculando as dimensões da planificação

Vamos olhar para as medidas fornecidas na figura do bebedouro 3:

• Comprimento: $100 \text{ cm}$
• Diâmetro da base: $60 \text{ cm}$
• Raio da base ($r$): A metade do diâmetro, ou seja, $30 \text{ cm}$.

Agora, vamos pensar nas dimensões do retângulo que forma a parte curva. Um dos lados desse retângulo é simplesmente o comprimento do bebedouro, que vale $100 \text{ cm}$.

O outro lado do retângulo é exatamente a medida do contorno da parte curva do semicírculo (o arco). Quando enrolamos o retângulo, esse lado precisa abraçar perfeitamente a curva da base.

O comprimento de uma circunferência completa é dado por $C = 2 \cdot \pi \cdot r$. Como temos apenas um semicírculo, o comprimento do arco será a metade disso:

$\text{Arco} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{2} = \pi \cdot r$

Substituindo o valor do raio ($r = 30 \text{ cm}$):

$\text{Arco} = 30 \cdot \pi$

Considerando $\pi \approx 3,14$, temos:

$\text{Arco} \approx 30 \cdot 3,14 = 94,2 \text{ cm}$

Portanto, o retângulo da nossa planificação deve ter as dimensões de $100 \text{ cm}$ por aproximadamente $94,2 \text{ cm}$.

Analisando as alternativas restantes

• Na Alternativa D, o retângulo tem lados medindo $100 \text{ cm}$ e $60 \text{ cm}$. O valor $60 \text{ cm}$ é o diâmetro da base (a parte reta do semicírculo), e não o comprimento da parte curva ($94,2 \text{ cm}$). Se tentássemos montar o bebedouro com essa chapa, a parte curva ficaria curta demais e não fecharia a lateral.
• Na Alternativa E, temos um retângulo onde o lado maior mede $100 \text{ cm}$. Os semicírculos estão acoplados aos lados menores do retângulo. Essa representação está correta em proporção e forma: o lado de $100 \text{ cm}$ é o comprimento, e o lado onde o semicírculo se encaixa corresponde ao arco de $\approx 94,2 \text{ cm}$, que é de fato menor que $100 \text{ cm}$.

A figura E é a única que traz as formas corretas (um retângulo e dois semicírculos) organizadas de maneira que, ao serem dobradas, formem perfeitamente a superfície do bebedouro 3 sem tampa.