Questão 166 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos resgatar uma informação fundamental que estava presente no texto-base da prova do ENEM: o tempo de meia-vida do césio-137 é de $30$ anos.

O tempo de meia-vida ($P$) é o período necessário para que a massa de uma amostra radioativa se reduza à metade de sua quantidade inicial. A função exponencial que descreve esse decaimento é dada por:

$M(t) = M_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{P}}$

Onde:

• $M(t)$ é a massa restante após um tempo $t$;
• $M_0$ é a massa inicial da amostra;
• $P$ é o tempo de meia-vida (no caso, $30$ anos).

O problema nos pede para encontrar o tempo $t$ necessário para que a massa se reduza a $10\%$ da quantidade inicial. Matematicamente, isso significa que queremos $M(t) = 10\% \text{ de } M_0$, ou seja, $M(t) = 0,1 \cdot M_0$.

Substituindo essa condição e o valor da meia-vida na fórmula, temos:

$0,1 \cdot M_0 = M_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}$

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $M_0$:

$0,1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}$

Agora, vamos reescrever os números em forma de potência para facilitar a aplicação dos logaritmos. Sabemos que $0,1 = 10^{-1}$ e que $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. A equação fica assim:

$10^{-1} = \left(2^{-1}\right)^{\frac{t}{30}}$

$10^{-1} = 2^{-\frac{t}{30}}$

Para resolver essa equação exponencial, aplicamos o logaritmo na base $10$ em ambos os lados:

$\log_{10}(10^{-1}) = \log_{10}\left(2^{-\frac{t}{30}}\right)$

Utilizando a propriedade do logaritmo de uma potência (onde o expoente "tomba" multiplicando o logaritmo, $\log(a^b) = b \cdot \log a$), obtemos:

$-1 \cdot \log_{10}(10) = -\frac{t}{30} \cdot \log_{10}(2)$

Sabemos que o logaritmo da base é sempre $1$, ou seja, $\log_{10}(10) = 1$. Além disso, o enunciado nos orienta a usar a aproximação $\log_{10}(2) = 0,3$. Substituindo esses valores na equação:

$-1 \cdot 1 = -\frac{t}{30} \cdot 0,3$

$-1 = -\frac{0,3t}{30}$

Multiplicando ambos os lados por $-1$ para deixar tudo positivo:

$1 = \frac{0,3t}{30}$

Para facilitar as contas, podemos simplificar a fração $\frac{0,3}{30}$. Se multiplicarmos o numerador e o denominador por $10$, obtemos $\frac{3}{300}$. Dividindo em cima e embaixo por $3$, chegamos a $\frac{1}{100}$. Assim:

$1 = \frac{t}{100}$

Multiplicando cruzado, encontramos finalmente o tempo:

$t = 100 \text{ anos}$

Portanto, serão necessários $100$ anos para que a massa de césio-137 se reduza a $10\%$ da sua quantidade original.