Questão 172 do ENEM 2016 — Matemática

Entendendo o problema

O marceneiro precisa escolher uma serra copo (que faz furos circulares de diâmetro $D$) atendendo a duas exigências simultâneas para os furos já existentes na peça — mostrados na figura como um triângulo (T), um retângulo (R), um quadrado (Q) e o furo circular tracejado (C):

1. A peça circular (o cilindro resultante do furo) não pode caber nos furos poligonais;
2. As peças poligonais não podem caber no furo circular.

Observação importante: a figura apresentada mostra apenas o formato e a disposição dos furos (T, R, Q e o círculo C). As medidas dos lados de cada furo e os valores de diâmetro dos exemplares I a V fazem parte do enunciado/tabela da questão e não estão legíveis nesta imagem. Por isso, os números usados abaixo seguem os dados clássicos desta prova do ENEM 2016; confira-os no enunciado original. O raciocínio, esse sim, vale sempre.

Condição 1 — a peça circular não pode caber nos furos poligonais

Um círculo só cabe num furo poligonal se seu diâmetro for menor ou igual ao maior círculo inscrito naquele furo. Para que não caiba, precisamos que $D$ seja maior que esses círculos inscritos.

• Quadrado (lado $4$): maior círculo inscrito tem diâmetro igual ao lado, $4$ cm. Logo, $D > 4$.
• Retângulo ($3 \times 4$): o círculo inscrito é limitado pelo menor lado, $3$ cm. Logo, $D > 3$.
• Triângulo equilátero (lado $6,8$): o diâmetro do círculo inscrito é $\dfrac{l\sqrt{3}}{3} = \dfrac{6,8 \cdot 1,7}{3} \approx 3,85$ cm. Logo, $D > 3,85$.

A restrição mais forte é a do quadrado: $D > 4$ cm.

Condição 2 — as peças poligonais não podem caber no furo circular

Uma peça poligonal só cabe num furo circular se o círculo circunscrever a peça, ou seja, se $D$ for maior ou igual à maior distância entre dois vértices da peça (a diagonal). Para que não caiba, precisamos que $D$ seja menor que essa diagonal.

• Quadrado (lado $4$): diagonal $= 4\sqrt{2} = 4 \cdot 1,4 = 5,6$ cm. Logo, $D < 5,6$.
• Retângulo ($3 \times 4$): diagonal $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ cm. Logo, $D < 5$.
• Triângulo equilátero (lado $6,8$): diâmetro do círculo circunscrito $= \dfrac{2l\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2 \cdot 6,8 \cdot 1,7}{3} \approx 7,7$ cm. Logo, $D < 7,7$.

A restrição mais forte é a do retângulo: $D < 5$ cm.

Conclusão

Juntando as duas condições:

$4\ \text{cm} < D < 5\ \text{cm}$

Entre os exemplares oferecidos (I a V), o único diâmetro dentro desse intervalo é o de $4,7$ cm, correspondente ao exemplar II.