Questão 137 do ENEM 2015 — Matemática

Para descobrir qual tampo circular escolher, precisamos pensar no seguinte: a base tem formato de triângulo equilátero e o tampo, que é circular, precisa cobri-la por completo. Isso só acontece se o círculo do tampo circunscrever o triângulo, ou seja, se o raio do tampo for, no mínimo, igual ao raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

O enunciado informa que o lado do triângulo equilátero mede $l = 30 \text{ cm}$ e pede para usarmos a aproximação $\sqrt{3} \approx 1{,}7$.

Em um triângulo equilátero, o centro da circunferência circunscrita coincide com o baricentro. E o baricentro divide cada altura na razão $2:1$. Por isso, o raio $R$ da circunferência circunscrita corresponde a $\frac{2}{3}$ da altura $h$ do triângulo.

Primeiro, calculamos a altura $h$: $h = \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{30 \cdot 1{,}7}{2} = 15 \cdot 1{,}7 = 25{,}5 \text{ cm}$

Agora, o raio $R$ é $\frac{2}{3}$ dessa altura: $R = \frac{2}{3} \cdot 25{,}5 = \frac{51}{3} = 17 \text{ cm}$

Uma forma mais direta é usar a fórmula do raio da circunferência circunscrita a um triângulo equilátero, $R = \frac{l\sqrt{3}}{3}$: $R = \frac{30 \cdot 1{,}7}{3} = 10 \cdot 1{,}7 = 17 \text{ cm}$

Os dois caminhos levam ao mesmo valor: para cobrir totalmente a base, o raio do tampo precisa ser de, no mínimo, $17 \text{ cm}$.

Agora olhamos os raios disponíveis: $18 \text{ cm}$, $26 \text{ cm}$, $30 \text{ cm}$, $35 \text{ cm}$ e $60 \text{ cm}$. Como o proprietário quer o menor tampo que ainda cubra a base, procuramos o menor valor que seja maior ou igual a $17 \text{ cm}$. Esse valor é $18 \text{ cm}$.

Portanto, a alternativa correta é a A.