Questão 157 do ENEM 2013 — Matemática

Entendendo a figura

A figura mostra duas circunferências concêntricas (mesmo centro $O$). A maior representa a piscina, de raio $R$; a menor, no centro, representa a ilha de lazer, de raio $r$. A ilha ocupa o miolo da piscina, e a água fica na coroa (região entre as duas circunferências).

Os valores numéricos do problema (volume inicial de água, profundidade da piscina e volume mínimo de água que deve restar) vêm do enunciado da questão. Vamos montar a solução de forma geral e, ao final, usar esses dados para comparar com as alternativas. Nas contas abaixo uso a aproximação pedida $\pi \approx 3$.

Modelando a situação

Tanto a piscina quanto a ilha têm formato cilíndrico e a mesma altura, igual à profundidade $h$ da piscina. Quando a ilha é construída no centro, ela ocupa um cilindro de raio $r$ e altura $h$, deslocando a água que ali estava.

O volume de água que resta é o volume inicial menos o volume ocupado pela ilha:

$V_{\text{água}} = V_{\text{inicial}} - \pi \cdot r^2 \cdot h$

Aplicando a condição de volume mínimo

A água que sobra deve ser de pelo menos o volume mínimo exigido:

$V_{\text{inicial}} - \pi \cdot r^2 \cdot h \ge V_{\text{mínimo}}$

Isolando $r^2$:

$\pi \cdot r^2 \cdot h \le V_{\text{inicial}} - V_{\text{mínimo}}$

$r^2 \le \frac{V_{\text{inicial}} - V_{\text{mínimo}}}{\pi \cdot h}$

Usando os dados do enunciado (volume inicial de $12\text{ m}^3$, volume mínimo de $4\text{ m}^3$, profundidade $h = 1\text{ m}$ e $\pi \approx 3$):

$r^2 \le \frac{12 - 4}{3 \cdot 1} = \frac{8}{3} \approx 2,67$

Encontrando o raio máximo

O raio máximo é o maior valor de $r$ que ainda satisfaz $r^2 \le 2,67$. Testando os quadrados das alternativas:

• $1,6^2 = 2,56$ — cabe dentro do limite (ainda é $\le 2,67$).
• $1,7^2 = 2,89$ — já ultrapassa $2,67$.

Como $1,6^2 = 2,56 \le 2,67$, mas $1,7^2 = 2,89 > 2,67$, o maior raio permitido está mais próximo de $1,6\text{ m}$.

Portanto, o raio máximo da ilha de lazer é aproximadamente $1,6\text{ m}$, o que corresponde à alternativa A.