Questão 161 do ENEM 2012 — Matemática

Imagine olhar a pirâmide exatamente de cima, na vertical. O que enxergamos nesse caso é a projeção ortogonal do trajeto sobre o plano da base — como se cada ponto "descesse" reto até o chão.

A base da pirâmide é um quadrado, e o vértice do topo $B$ fica sobre o centro desse quadrado. Assim, visto de cima, $B$ se projeta no centro (vamos chamar de $B'$), e cada aresta lateral (que sai de um canto da base e sobe até $B$) se projeta sobre uma das diagonais do quadrado.

Na Figura 2, o ponto $A$ é um canto da base, enquanto $C$ e $D$ estão sobre arestas laterais (perto do topo). Vamos acompanhar a projeção de cada trecho do percurso:

Trecho 1 — de $A$ até $B$: a pessoa sobe pela aresta que liga o canto $A$ ao topo. Vista de cima, ela caminha do canto $A$ até o centro $B'$, sobre uma diagonal do quadrado. A projeção é um segmento de reta.

Trecho 2 — de $B$ até $C$: $C$ está sobre uma aresta vizinha. Descendo do centro $B'$ em direção à projeção de $C$, a pessoa percorre parte de outra diagonal.

Trecho 3 — de $C$ até $D$: $C$ e $D$ estão em faces vizinhas; o caminho mais curto entre eles, visto de cima, é um segmento de reta ligando as projeções $C'$ e $D'$.

Trecho 4 — de $D$ até $B$: a pessoa retorna ao topo, ou seja, caminha da projeção $D'$ de volta ao centro $B'$, novamente sobre uma diagonal.

O detalhe decisivo — colinearidade e ângulo reto:

As diagonais de um quadrado se cruzam no centro formando um ângulo de $90^\circ$. O canto $A$ e a aresta onde está $D$ estão em posições opostas, de modo que a projeção do primeiro trecho ($A \to B'$) e a do último ($D' \to B'$) caem sobre a mesma diagonal. Por isso o segmento que "chega" de $A$ e o lado do triângulo que "sai" em direção a $D'$ ficam alinhados numa única reta contínua — sem quina no ponto onde se encontram.

Já a aresta de $C$ está sobre a outra diagonal, que é perpendicular à primeira. Logo, o lado do triângulo que vai até $C'$ forma um ângulo reto com aquela reta contínua.

Procuramos, então, uma figura em que uma reta desça e continue como um dos lados de um triângulo (a "cauda" colinear), e o outro lado, partindo do mesmo vértice, forme ângulo reto com essa reta. Essa configuração — cauda alinhada com um lado do triângulo e ângulo de $90^\circ$ no vértice — é exatamente a da alternativa C.