Questão 178 do ENEM 2013 — Matemática

Esta questão trata do arranjo de copos sobre uma bandeja quadrada, e as medidas $AC$ e $BD$ são definidas pela figura do enunciado. Pela figura da questão, o eixo do copo é vertical e há duas larguras marcadas em relação a esse eixo: $AC$ vai do eixo até a borda da parte mais larga do copo (o bojo) e $BD$ vai do eixo até a borda da base de apoio, mais estreita. Adotamos, portanto, a leitura de que $AC$ é o raio do bojo e $BD$ é o raio da base, com a relação dada: $AC = \frac{7}{5}\,BD.$

Como os quatro copos se arranjam

Para caber exatamente quatro copos, o arranjo natural é uma formação quadrada $2 \times 2$. Como o bojo é a parte mais larga, ao aproximar os copos ao máximo são os bojos que se encostam. Assim, a distância entre os centros (eixos) de dois copos vizinhos, ao longo de um lado da bandeja, é igual à soma dos dois raios de bojo: $d_{\text{centros}} = AC + AC = 2\,AC.$

Montando o lado da bandeja

Ao longo de um lado da bandeja há dois copos. Para que cada base fique inteiramente apoiada, do centro do copo até a borda da bandeja é preciso reservar pelo menos o raio da base, $BD$. Então o lado $l$ é a soma de:

• do canto até o centro do primeiro copo: $BD$;
• a distância entre os dois centros: $2\,AC$;
• do centro do segundo copo até o canto oposto: $BD$.

Logo: $l = BD + 2\,AC + BD = 2\,AC + 2\,BD.$

Como os bojos se tocam (não dá para aproximar mais) e a bandeja só precisa apoiar as bases, esse é o menor lado possível.

Calculando a razão

Substituindo $AC = \frac{7}{5}\,BD$: $l = 2\cdot\frac{7}{5}\,BD + 2\,BD = \frac{14}{5}\,BD + \frac{10}{5}\,BD = \frac{24}{5}\,BD.$

Portanto: $\frac{l}{BD} = \frac{24}{5}.$

O gabarito é a letra D.