Questão 174 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar a função matemática que descreve a velocidade da partícula e descobrir em qual situação essa velocidade atinge o seu valor máximo.

A função fornecida no enunciado é: $V(x) = K^2(R^2 - x^2)$

Nessa expressão, temos que:

• $V(x)$ é a velocidade da partícula em função da distância $x$;
• $K$ é uma constante positiva;
• $R$ é o raio do tubo, que também é um valor constante para um determinado tubo;
• $x$ é a distância da partícula até o centro do tubo. Como se trata de uma distância, sabemos que $x \ge 0$.

Nosso objetivo é encontrar o valor de $x$ que torna $V(x)$ o maior possível. Podemos pensar de duas maneiras simples:

1. Analisando a expressão algébrica: Na fórmula $V(x) = K^2(R^2 - x^2)$, os valores de $K^2$ e $R^2$ são fixos e positivos. O único valor que varia é o $x^2$, que está sendo subtraído de $R^2$. Para que o resultado da subtração $(R^2 - x^2)$ seja o maior possível, devemos subtrair o menor valor possível. Como $x^2$ nunca pode ser negativo (o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero), o menor valor que $x^2$ pode assumir é $0$. Isso acontece exatamente quando: $x = 0$

2. Analisando como uma função do 2º grau: Se aplicarmos a propriedade distributiva, a função fica: $V(x) = -K^2x^2 + K^2R^2$ Essa é uma função quadrática (do tipo $ax^2 + bx + c$) onde a variável é $x$. Os coeficientes são:

• $a = -K^2$ (como $K$ é positivo, $-K^2$ é negativo, indicando uma parábola com concavidade para baixo, que possui um ponto de máximo);
• $b = 0$;
• $c = K^2R^2$.

O valor de $x$ que dá o máximo da função é o $x$ do vértice ($x_v$), calculado por: $x_v = \frac{-b}{2a}$ Substituindo os valores: $x_v = \frac{-0}{2(-K^2)} = 0$

Ambas as análises nos levam à mesma conclusão: a velocidade de escoamento da partícula será máxima no centro do tubo, ou seja, quando a distância $x$ for igual a $0$.