Questão 175 do ENEM 2015 — Matemática

⚠️ Observação: o enunciado disponível está incompleto — a relação geométrica entre $a$ e $b$ aparece na figura/texto original da prova, não no trecho reproduzido aqui. A resolução abaixo usa a relação da versão oficial da questão.

O objetivo é reescrever o volume da bola, $V = 4ab^2$, usando apenas a variável $b$. Para isso precisamos de uma relação entre $a$ e $b$.

Dimensões da bola

Segundo a figura, a bola (uma elipse, no formato de bola de futebol americano) está centrada na origem do plano cartesiano:

• Na horizontal, vai de $-a$ até $a$; o comprimento horizontal total é $a - (-a) = 2a$.
• Na vertical, vai de $-b$ até $b$; o comprimento vertical total é $b - (-b) = 2b$.

Traduzindo a relação para uma equação

A versão original informa que a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical. Escrevendo em símbolos:

• Diferença entre os comprimentos: $2a - 2b$
• Metade do comprimento vertical: $\frac{2b}{2} = b$

Igualando: $2a - 2b = b$

Isolando $a$: $2a = 3b \Rightarrow a = \frac{3b}{2}$

Volume em função de b

Substituindo $a = \frac{3b}{2}$ na fórmula dada $V = 4ab^2$: $V = 4 \cdot \frac{3b}{2} \cdot b^2$ $V = \frac{12b}{2} \cdot b^2 = 6b \cdot b^2 = 6b^3$

Portanto, o volume em função apenas de $b$ é $6b^3$, correspondendo à alternativa B.