Questão 146 do ENEM 2023 — Matemática

Neste problema devemos distribuir os números de $1$ a $6$ nos círculos do triângulo, um em cada círculo, e analisar a soma dos números que ficam em cada lado.

A soma de todos os números disponíveis é: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$

Vamos chamar de $S$ a soma dos números de cada lado do triângulo. Como o triângulo tem três lados, ao somarmos os valores dos três lados obtemos $3S$.

Ao fazer essa soma ($3S$), somamos todos os números colocados nos círculos, mas com uma observação importante: os números que estão nos vértices pertencem a dois lados ao mesmo tempo, enquanto os números que estão no meio de cada lado pertencem a apenas um. Assim, na soma $3S$, os números dos vértices são contados duas vezes, e os demais apenas uma vez.

Podemos escrever isso como: $3S = (\text{soma de todos os números}) + (\text{soma dos números nos vértices})$ $3S = 21 + (\text{soma dos números nos vértices})$

O enunciado diz que os números nos vértices estão em Progressão Aritmética (P.A.) de razão igual a $2$. No conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, só existem duas maneiras de formar uma P.A. de razão $2$ com três termos:

Primeira possibilidade: vértices $1, 3$ e $5$. A soma dos vértices é $1 + 3 + 5 = 9$. Substituindo: $3S = 21 + 9 = 30 \implies S = 10$ Neste caso, a soma de cada lado é $10$.

Segunda possibilidade: vértices $2, 4$ e $6$. A soma dos vértices é $2 + 4 + 6 = 12$. Substituindo: $3S = 21 + 12 = 33 \implies S = 11$ Neste caso, a soma de cada lado é $11$.

Portanto, existem exatamente duas soluções possíveis: uma com soma $10$ em cada lado e outra com soma $11$. Isso corresponde à letra E.