Questão 154 do ENEM 2015 — Matemática

A ideia central aqui é traduzir a inequação em uma região do plano cartesiano e, depois, verificar quais dos estabelecimentos caem dentro dela.

O que a inequação representa

A área de cobertura da rádio é dada por: $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 31 \le 0$

Essa expressão tem a cara da equação geral de uma circunferência. Com o sinal $\le$, não estamos falando apenas da linha (a circunferência em si), mas de toda a região interna a ela, ou seja, um círculo.

Para enxergar essa região com clareza, vamos reescrever a inequação na forma reduzida $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 \le R^2$, em que $(x_c, y_c)$ é o centro e $R$ é o raio. Usamos a técnica de completar quadrados.

Primeiro, agrupamos os termos em $x$ e os termos em $y$ e passamos o número isolado para o outro lado: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) \le 31$

Para completar o quadrado em $x^2 - 2x$, pegamos metade do coeficiente de $x$ (que é $-1$) e elevamos ao quadrado: $(-1)^2 = 1$. Somamos $1$ nos dois lados. Para $y^2 - 4y$, metade do coeficiente de $y$ é $-2$, e $(-2)^2 = 4$. Somamos $4$ nos dois lados: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) \le 31 + 1 + 4$

Fatorando os trinômios quadrados perfeitos: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 36$

Ou seja, a cobertura é um círculo de centro $(1, 2)$ e raio $\sqrt{36} = 6$. Um estabelecimento capta o sinal quando sua distância até o centro $(1, 2)$ é menor ou igual a $6$.

Lendo as coordenadas no gráfico

O enunciado diz que cada quarteirão é um quadrado de lado unitário, então cada quadradinho da malha vale $1$ unidade. Para cada estabelecimento, contamos os quarteirões a partir da origem $(0,0)$ ao longo dos eixos $x$ e $y$, respeitando os sinais (direita/cima positivos, esquerda/baixo negativos). Lidas dessa forma no plano, as coordenadas de A, B, C e D são substituídas, uma a uma, na inequação reduzida $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 36$: se o resultado for $\le 36$, o ponto está dentro da cobertura.

Testando cada estabelecimento

Ponto A $(4, 7)$: $(4 - 1)^2 + (7 - 2)^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$ Como $34 \le 36$, o ponto A está dentro da cobertura.

Ponto B $(-4, 3)$: $(-4 - 1)^2 + (3 - 2)^2 = (-5)^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26$ Como $26 \le 36$, o ponto B está dentro da cobertura.

Ponto C $(2, -2)$: $(2 - 1)^2 + (-2 - 2)^2 = 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$ Como $17 \le 36$, o ponto C está dentro da cobertura.

Ponto D $(-5, -5)$: $(-5 - 1)^2 + (-5 - 2)^2 = (-6)^2 + (-7)^2 = 36 + 49 = 85$ Como $85 > 36$, o ponto D está fora da cobertura.

Conclusão

Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são A, B e C. A alternativa correta é a D.