Questão 175 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro organizar as informações dadas no enunciado e na tabela. O professor deseja escolher um total de $5$ museus para visitar, sendo exatamente $3$ nacionais e $2$ internacionais.

Analisando a tabela fornecida, podemos contar as opções disponíveis para cada categoria:

Museus Nacionais ($4$ opções):

• Masp – São Paulo
• MAM – São Paulo
• Ipiranga – São Paulo
• Imperial – Petrópolis

Museus Internacionais ($4$ opções):

• Louvre – Paris
• Prado – Madri
• British Museum – Londres
• Metropolitan – Nova York

Como a ordem em que o professor escolhe ou visita os museus não cria um grupo de museus diferente (escolher Masp e MAM é o mesmo que escolher MAM e Masp), trata-se de um problema de combinação simples.

A fórmula da combinação é dada por: $C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ onde $n$ é o total de opções disponíveis e $p$ é a quantidade que queremos escolher.

Escolha dos Museus Nacionais

O professor precisa escolher $3$ museus entre os $4$ disponíveis. Calculamos essa combinação: $C_{4,3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} = 4 \text{ maneiras}$

Escolha dos Museus Internacionais

Ele também precisa escolher $2$ museus entre os $4$ internacionais disponíveis. Calculamos essa combinação: $C_{4,2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 1 \cdot 2!} = \frac{12}{2} = 6 \text{ maneiras}$

Total de Maneiras

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo), para encontrar o número total de maneiras de compor o roteiro completo, multiplicamos as possibilidades de cada etapa (a escolha dos nacionais e a escolha dos internacionais): $\text{Total} = 4 \cdot 6 = 24 \text{ maneiras}$

Portanto, o professor tem $24$ maneiras diferentes de escolher os $5$ museus para sua visita.