Questão 174 do ENEM 2009 — Matemática

Esta questão relaciona o movimento de um ponto $P$ que gira sobre a circunferência com o movimento da sua sombra $Q$ no eixo $x$. A chave é transformar o arco percorrido em um ângulo e depois projetar esse movimento na horizontal.

Do arco para o ângulo

O ponto $P$ percorre uma distância $d$ sobre a circunferência de raio $r$. A relação entre o comprimento de um arco, o raio e o ângulo central em radianos é: $d = \theta \cdot r$

Isolando o ângulo: $\theta = \frac{d}{r}$

Como $d \le r$, temos $\theta \le 1$ radiano, um giro pequeno.

O movimento horizontal

Pela figura, o ponto $P$ parte da posição em que sua distância horizontal ao centro é igual ao raio $r$ (ele está alinhado verticalmente com $Q$, sobre a reta que passa pelo centro). Ao girar um ângulo $\theta$, formamos um triângulo retângulo entre o centro da circunferência, a nova posição de $P$ e a projeção horizontal dessa posição.

Nesse triângulo:

• A hipotenusa é o raio $r$.
• O cateto adjacente ao ângulo $\theta$ é a nova distância horizontal de $P$ até o centro.

Pela definição de cosseno: $\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{\text{nova distância horizontal}}{r}$

Logo, a nova distância horizontal de $P$ ao centro é $r \cdot \cos(\theta)$.

A distância percorrida por Q

O ponto $Q$ é a projeção ortogonal (a "sombra") de $P$ no eixo $x$. A distância que $Q$ percorre é a diferença entre a distância horizontal inicial ($r$) e a nova ($r\cos\theta$): $\text{Distância} = r - r\cos(\theta) = r\left(1 - \cos(\theta)\right)$

Substituindo $\theta = \dfrac{d}{r}$: $\text{Distância} = r\left(1 - \cos\left(\frac{d}{r}\right)\right)$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa B.