Questão 166 do ENEM 2019 — Matemática

Entendendo a geometria da dobradura

Uma dobradura de papel nunca cria nem destrói medidas: ela apenas reposiciona partes da folha. A linha do vinco funciona como um eixo de reflexão, e o pedaço dobrado fica exatamente igual ao que era antes, só que virado sobre esse eixo.

A folha original é um retângulo $ABCE$ (na verdade $18\text{ cm}$ por $12\text{ cm}$). Segundo a figura, o vinco é o segmento $AE$, e a dobra leva o canto esquerdo da folha a se apoiar formando o ponto $D$, onde se marca um ângulo reto.

Como indicado na figura, o ângulo em $D$ é de $90^\circ$, então o triângulo $ADE$ é retângulo, com a hipotenusa sendo justamente o vinco $AE$ que queremos medir. Nossa estratégia é achar os dois catetos $AD$ e $DE$ e depois aplicar o Teorema de Pitágoras.

Determinando os catetos

Cateto $AD$: pela dobra, o lado $AD$ é a imagem do lado esquerdo do retângulo, que corresponde à largura da folha. A figura registra essa largura no lado direito ($BC$) como $12\text{ cm}$. Logo: $AD = 12\text{ cm}$

Cateto $DE$: a figura indica na base o segmento remanescente $EC = 12\text{ cm}$, enquanto o comprimento total da folha é $AB = 18\text{ cm}$. O trecho $DE$ é a parte da base que foi dobrada, ou seja, a diferença entre o comprimento total e o pedaço que permaneceu: $DE = 18 - 12 = 6\text{ cm}$

Aplicando o Teorema de Pitágoras

Com os catetos $12\text{ cm}$ e $6\text{ cm}$, a hipotenusa $AE$ vale: $AE^2 = AD^2 + DE^2$ $AE^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$ $AE = \sqrt{180}$

Para simplificar o radical, fatoramos $180$ buscando um quadrado perfeito: $AE = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\text{ cm}$

Portanto, a medida do segmento $AE$ após a primeira dobradura é $6\sqrt{5}\text{ cm}$, o que corresponde à alternativa D.