Questão 146 do ENEM 2012 — Matemática

Entendendo o Problema

O jogador ganha se a bola retirada da Urna 2 for da mesma cor do seu palpite inicial. No entanto, antes dessa retirada final, uma bola é transferida aleatoriamente da Urna 1 para a Urna 2. Nosso objetivo é descobrir qual cor tem a maior probabilidade de ser sorteada no final.

Primeiro, vamos observar o total de bolas em cada urna antes de qualquer jogada:

• Urna 1: $4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10$ bolas.
• Urna 2: $0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ bolas.

Quando uma bola é transferida da Urna 1 para a Urna 2, a Urna 2 passa a ter $11$ bolas no total.

A Lógica da Probabilidade

Para calcular a probabilidade de uma determinada cor ser sorteada da Urna 2, precisamos considerar dois cenários possíveis (usando o Teorema da Probabilidade Total):

1. A bola transferida da Urna 1 é da cor escolhida.
2. A bola transferida da Urna 1 não é da cor escolhida.

Vamos criar uma fórmula geral. Seja $x$ a quantidade de bolas de uma certa cor na Urna 1 e $y$ a quantidade de bolas dessa mesma cor na Urna 2.

• A probabilidade de transferir uma bola dessa cor da Urna 1 para a Urna 2 é $\frac{x}{10}$. Se isso acontecer, a Urna 2 passará a ter $y + 1$ bolas dessa cor, em um total de $11$ bolas. A chance de sorteá-la será $\frac{y + 1}{11}$.
• A probabilidade de não transferir uma bola dessa cor é $\frac{10 - x}{10}$. Se isso acontecer, a Urna 2 continuará com $y$ bolas dessa cor, em um total de $11$ bolas. A chance de sorteá-la será $\frac{y}{11}$.

A probabilidade total ($P$) de sortear essa cor no final é a soma das probabilidades desses dois caminhos:

$P = \left( \frac{x}{10} \cdot \frac{y + 1}{11} \right) + \left( \frac{10 - x}{10} \cdot \frac{y}{11} \right)$

Podemos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos:

$P = \frac{x(y + 1) + (10 - x)y}{110}$ $P = \frac{xy + x + 10y - xy}{110}$ $P = \frac{x + 10y}{110}$

Essa fórmula nos mostra algo muito importante: a quantidade de bolas que já estão na Urna 2 ($y$) tem um peso $10$ vezes maior do que a quantidade de bolas na Urna 1 ($x$). Isso faz sentido, pois a Urna 2 já possui $10$ bolas e recebe apenas $1$ da Urna 1.

Calculando as Probabilidades

Agora, basta aplicar a nossa fórmula simplificada $P = \frac{x + 10y}{110}$ para cada uma das cores:

• Amarela: $x = 4$ e $y = 0$ $P(\text{Amarela}) = \frac{4 + 10(0)}{110} = \frac{4}{110}$

• Azul: $x = 3$ e $y = 1$ $P(\text{Azul}) = \frac{3 + 10(1)}{110} = \frac{13}{110}$

• Branca: $x = 2$ e $y = 2$ $P(\text{Branca}) = \frac{2 + 10(2)}{110} = \frac{22}{110}$

• Verde: $x = 1$ e $y = 3$ $P(\text{Verde}) = \frac{1 + 10(3)}{110} = \frac{31}{110}$

• Vermelha: $x = 0$ e $y = 4$ $P(\text{Vermelha}) = \frac{0 + 10(4)}{110} = \frac{40}{110}$

Conclusão

Comparando os resultados, a cor com a maior probabilidade de ser sorteada é a vermelha, com $\frac{40}{110}$ (ou aproximadamente $36,4\%$).

Mesmo sendo impossível transferir uma bola vermelha da Urna 1 (pois há $0$ bolas vermelhas lá), a Urna 2 já começa com uma grande vantagem de bolas vermelhas ($4$ bolas). Como apenas uma bola é transferida, essa vantagem inicial é suficiente para garantir que a vermelha seja a cor mais provável de ser retirada no final.