Questão 141 do ENEM 2013 — Matemática

Comparar duas embalagens cilíndricas exige lembrar como o volume de um cilindro depende do raio e da altura. A fórmula é a área da base (um círculo) multiplicada pela altura:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Pela figura, temos duas embalagens. A maior, de $350$ mL, tem raio $r$ e altura $h$. A menor, de $175$ mL, tem raio $r'$ e, conforme a altura indicada na figura, uma altura igual a $\frac{h}{2}$ (metade da altura da embalagem maior).

Montando as equações

Para a embalagem maior: $350 = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Para a embalagem menor, usando a altura $\frac{h}{2}$ indicada na figura: $175 = \pi \cdot (r')^2 \cdot \frac{h}{2}$

Relacionando os dois volumes

Repare que $350$ é exatamente o dobro de $175$. Então podemos escrever o volume maior como duas vezes o menor: $\pi \cdot r^2 \cdot h = 2 \cdot \left( \pi \cdot (r')^2 \cdot \frac{h}{2} \right)$

No lado direito, o $2$ que multiplica cancela com o $2$ que divide a altura: $\pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (r')^2 \cdot h$

Como $\pi$ e $h$ aparecem multiplicando nos dois lados e são diferentes de zero, podemos dividir ambos os lados por $\pi \cdot h$: $r^2 = (r')^2$

Como raio é uma medida de comprimento (sempre positiva), extraímos a raiz quadrada e concluímos: $r' = r$

Interpretando o resultado

A leitura é elegante: reduzir a altura pela metade já reduz o volume pela metade, sem precisar mexer no raio. Por isso, a embalagem de $175$ mL mantém exatamente o mesmo raio da embalagem de $350$ mL.

A relação correta é $r' = r$.

Alternativa correta: C