Questão 163 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos comparar as densidades dos três corpos: $A$, $B$ e $C$. O enunciado nos lembra que a densidade absoluta ($d$) é calculada pela razão entre a massa ($m$) e o volume ($V$), ou seja:

$d = \frac{m}{V}$

A melhor estratégia aqui é expressar as massas e os volumes de todos os corpos em função de um único corpo, para que possamos comparar as densidades facilmente. Vamos escolher o corpo $B$ como nossa referência.

Analisando as massas

O enunciado nos dá as seguintes informações sobre as massas:

• O corpo $A$ possui $1,5$ vez a massa do corpo $B$: $m_A = 1,5 \cdot m_B$

• O corpo $B$ tem $\frac{3}{4}$ da massa do corpo $C$. Podemos isolar a massa de $C$ ($m_C$) em função da massa de $B$ ($m_B$): $m_B = \frac{3}{4} \cdot m_C \implies m_C = \frac{4}{3} \cdot m_B$

Analisando os volumes

Agora, vamos olhar para as relações entre os volumes:

• O volume do corpo $A$ é o mesmo do corpo $B$: $V_A = V_B$

• O volume do corpo $A$ é $20\%$ maior do que o volume do corpo $C$. Um aumento de $20\%$ equivale a multiplicar por $1,2$ (ou $\frac{12}{10} = \frac{6}{5}$). Assim: $V_A = 1,2 \cdot V_C$ Como $V_A = V_B$, podemos substituir e isolar $V_C$: $V_B = \frac{6}{5} \cdot V_C \implies V_C = \frac{5}{6} \cdot V_B$

Calculando e comparando as densidades

Agora que temos todas as massas e volumes em função de $m_B$ e $V_B$, vamos calcular a densidade de cada corpo.

A densidade do corpo $B$ será a nossa base de comparação: $d_B = \frac{m_B}{V_B}$

Para o corpo $A$, substituímos $m_A$ e $V_A$: $d_A = \frac{m_A}{V_A} = \frac{1,5 \cdot m_B}{V_B} = 1,5 \cdot \left( \frac{m_B}{V_B} \right) = 1,5 \cdot d_B$

Para o corpo $C$, substituímos $m_C$ e $V_C$: $d_C = \frac{m_C}{V_C} = \frac{\frac{4}{3} \cdot m_B}{\frac{5}{6} \cdot V_B}$ Para resolver essa divisão de frações, conservamos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda: $d_C = \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \right) \cdot \frac{m_B}{V_B} = \frac{24}{15} \cdot d_B$ Simplificando a fração $\frac{24}{15}$ (dividindo o numerador e o denominador por $3$), obtemos $\frac{8}{5}$, que é igual a $1,6$. Logo: $d_C = 1,6 \cdot d_B$

Conclusão

Comparando os três resultados, temos:

• $d_B = 1 \cdot d_B$
• $d_A = 1,5 \cdot d_B$
• $d_C = 1,6 \cdot d_B$

Fica claro que a menor densidade é a de $B$, seguida pela de $A$, e a maior é a de $C$. Portanto, a ordem correta é: $d_B < d_A < d_C$