Questão 168 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar como a alteração em uma variável (a massa) afeta a outra variável (a área da superfície corporal) dentro da fórmula fornecida.

A relação dada pelo enunciado é: $A = k \cdot m^{\frac{2}{3}}$

Vamos chamar a massa inicial do indivíduo na infância de $m_1$. A área da superfície corporal correspondente a essa massa será $A_1$: $A_1 = k \cdot m_1^{\frac{2}{3}}$

O enunciado nos diz que, ao atingir a maioridade, a massa do indivíduo foi multiplicada por $8$. Portanto, a nova massa, que chamaremos de $m_2$, é igual a $8 \cdot m_1$.

Agora, vamos calcular a nova área da superfície corporal, $A_2$, substituindo a nova massa $m_2$ na fórmula: $A_2 = k \cdot (m_2)^{\frac{2}{3}}$ $A_2 = k \cdot (8 \cdot m_1)^{\frac{2}{3}}$

Para resolver essa expressão, utilizamos a propriedade das potências que diz que a potência de um produto é igual ao produto das potências dos fatores, ou seja, $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$. Aplicando isso, temos: $A_2 = k \cdot 8^{\frac{2}{3}} \cdot m_1^{\frac{2}{3}}$

Agora precisamos calcular o valor numérico de $8^{\frac{2}{3}}$. Lembre-se de que uma potência com expoente fracionário pode ser transformada em uma raiz, ou podemos fatorar a base. Fatorando o número $8$, sabemos que $8 = 2^3$. Substituindo isso na potência: $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}}$

Usando a propriedade de potência de potência, multiplicamos os expoentes: $(2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$

Substituindo esse resultado de volta na nossa equação para $A_2$: $A_2 = k \cdot 4 \cdot m_1^{\frac{2}{3}}$

Podemos reorganizar os termos para evidenciar a área inicial $A_1$: $A_2 = 4 \cdot \left( k \cdot m_1^{\frac{2}{3}} \right)$

Como sabemos que $A_1 = k \cdot m_1^{\frac{2}{3}}$, concluímos que: $A_2 = 4 \cdot A_1$

Portanto, se a massa do indivíduo é multiplicada por $8$, a área da sua superfície corporal será multiplicada por $4$.