Questão 149 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular o número total de combinações possíveis para as placas de carro, respeitando as regras dadas no enunciado. Vamos usar o Princípio Fundamental da Contagem, que nos diz que o total de possibilidades de um evento é o produto das possibilidades de cada etapa independente desse evento.

A placa é formada por $7$ caracteres: os $3$ primeiros são letras e os $4$ últimos são algarismos.

Combinações de Letras

Temos $3$ posições para preencher e $26$ opções de letras do alfabeto para cada posição (já que as letras podem se repetir). Assim, o número de combinações possíveis para as letras é: $26 \times 26 \times 26 = 26^3$

Combinações de Algarismos

Para a parte numérica, temos $4$ posições e $10$ opções de algarismos (de $0$ a $9$) para cada uma. Se não houvesse nenhuma restrição, o total de combinações numéricas seria: $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$

No entanto, o enunciado traz uma restrição importante: não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero. Isso significa que a combinação $0000$ é proibida. Como essa é apenas $1$ combinação específica entre todas as possíveis, devemos subtraí-la do total de combinações numéricas. Portanto, a quantidade de combinações válidas para os algarismos é: $10^4 - 1$

Total de Placas

Por fim, para encontrar o número total de placas que podem ser utilizadas, multiplicamos as possibilidades das letras pelas possibilidades válidas dos algarismos: $26^3 \times (10^4 - 1)$

Analisando as alternativas, vemos que essa expressão corresponde à alternativa correta.