Questão 169 do ENEM 2014 — Matemática

Descobrindo o espaço útil no papel

A folha de papel tem $42\text{ cm}$ de comprimento por $30\text{ cm}$ de altura, mas a Figura 2 mostra que precisamos deixar $3\text{ cm}$ livres em cada margem. Como sobram margens em lados opostos (esquerda e direita, cima e baixo), descontamos $6\text{ cm}$ ($3\text{ cm}+3\text{ cm}$) de cada dimensão total:

• Comprimento disponível: $42\text{ cm} - 6\text{ cm} = 36\text{ cm}$
• Altura disponível: $30\text{ cm} - 6\text{ cm} = 24\text{ cm}$

Padronizando as unidades

As dimensões da gravura original vêm da Figura 1, dadas em metros. Como a escala é uma razão entre medidas, todas precisam estar na mesma unidade. Sejam $C_0$ o comprimento e $A_0$ a altura da gravura original mostrada na figura; para trabalhar em centímetros, basta multiplicar cada medida em metros por $100$.

Lendo a Figura 1, a gravura tem $8\text{ m}$ de comprimento e $6\text{ m}$ de altura, o que corresponde a:

• Comprimento original: $8\text{ m} = 800\text{ cm}$
• Altura original: $6\text{ m} = 600\text{ cm}$

Escala-limite em cada dimensão

A escala é a razão entre a medida na reprodução e a medida real. Para que a imagem ocupe o máximo possível mantendo as proporções, calculamos a escala-limite separadamente para o comprimento e para a altura.

Para o comprimento, dividindo o espaço disponível pela medida original: $E_c = \frac{36}{800} = \frac{1}{22,2}$

Para a altura: $E_a = \frac{24}{600} = \frac{1}{25}$

Escolhendo a escala que faz a figura caber

Temos duas candidatas: $1:22,2$ e $1:25$. A escala $1:25$ reduz a imagem $25$ vezes; a $1:22,2$ reduz apenas $22,2$ vezes.

Se usássemos a menor redução ($1:22,2$), o comprimento se encaixaria, mas a altura reproduzida ficaria em $\frac{600}{22,2} \approx 27\text{ cm}$ — maior que os $24\text{ cm}$ livres, e a imagem vazaria pela margem.

Por isso, em problemas de encaixe, escolhe-se sempre a maior redução (o maior denominador). Com $1:25$, a altura ocupa exatamente os $24\text{ cm}$ e o comprimento fica em $\frac{800}{25} = 32\text{ cm}$, cabendo com folga nos $36\text{ cm}$ disponíveis.

A escala da gravura reproduzida é $1:25$.