Questão 164 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver esse problema de forma mais simples, podemos transformar a visualização 3D em um problema 2D. Como as bases da torre e da plataforma são quadrados concêntricos (possuem o mesmo centro) e têm seus lados paralelos, os vértices correspondentes desses dois quadrados estão perfeitamente alinhados com o centro.

Isso significa que o centro das bases, um vértice da base da torre, o vértice correspondente da base da plataforma e o topo da torre (vértice da pirâmide) formam um único plano vertical. Vamos trabalhar as medidas dentro desse plano.

1. Distâncias do centro aos vértices

Primeiro, precisamos descobrir a distância do centro até os vértices de cada base. Essa distância é exatamente a metade da diagonal do quadrado. Lembrando que a diagonal ($d$) de um quadrado de lado $l$ é dada por $d = l\sqrt{2}$.

Para a base da torre central:

• Lado: $l_1 = 6\sqrt{2} \text{ m}$
• Diagonal: $d_1 = (6\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12 \text{ m}$
• Distância do centro ao vértice: $\frac{12}{2} = 6 \text{ m}$

Para a base da plataforma:

• Lado: $l_2 = 19\sqrt{2} \text{ m}$
• Diagonal: $d_2 = (19\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 19 \cdot 2 = 38 \text{ m}$
• Distância do centro ao vértice: $\frac{38}{2} = 19 \text{ m}$

2. Criando um sistema de coordenadas

Vamos imaginar um plano cartesiano onde a origem $(0,0)$ é o centro das bases.

• O topo da torre está a $24 \text{ m}$ de altura, então suas coordenadas são $V = (0, 24)$.
• O vértice da base da torre está a $6 \text{ m}$ do centro, então $A = (6, 0)$.
• O vértice da base da plataforma está a $19 \text{ m}$ do centro, na mesma direção, então $B = (19, 0)$.

3. Encontrando o ponto médio da aresta

O enunciado diz que uma extremidade do cabo é presa no ponto médio da aresta lateral da torre. Essa aresta é o segmento que liga o topo $V(0, 24)$ ao vértice da base $A(6, 0)$.

O ponto médio $M$ é calculado fazendo a média das coordenadas: $x_M = \frac{0 + 6}{2} = 3$ $y_M = \frac{24 + 0}{2} = 12$ Logo, o cabo está preso no ponto $M = (3, 12)$.

4. Calculando o comprimento do cabo

O cabo esticado vai do ponto $M(3, 12)$ até o vértice da plataforma $B(19, 0)$. Para achar o comprimento do cabo, basta calcular a distância entre esses dois pontos usando a fórmula da distância (que é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras): $D = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2}$ $D = \sqrt{(19 - 3)^2 + (0 - 12)^2}$ $D = \sqrt{16^2 + (-12)^2}$ $D = \sqrt{256 + 144}$ $D = \sqrt{400}$

Como as alternativas da questão foram deixadas em formato de raiz, não precisamos extrair a raiz quadrada de $400$ (que seria $20 \text{ m}$). A resposta já está no formato exato da alternativa correta.