Questão 155 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos usar o Princípio Fundamental da Contagem, que nos diz que se um evento é composto por várias etapas sucessivas e independentes, o número total de possibilidades é o produto do número de possibilidades de cada etapa.

O problema nos diz que temos $10$ casais, o que totaliza $20$ pessoas. A diretoria será formada por três cargos distintos: presidente, secretário e tesoureiro. A restrição fundamental é que no máximo uma pessoa por casal pode ocupar um cargo. Isso significa que, ao escolhermos alguém para um cargo, o seu cônjuge (parceiro ou parceira) fica imediatamente impedido de ocupar qualquer outro cargo.

Vamos pensar na escolha de cada cargo como uma etapa:

1. Escolha do Presidente: Como ainda não escolhemos ninguém, qualquer uma das $20$ pessoas do grupo pode ser o presidente. Portanto, temos $20$ opções para este cargo.

2. Escolha do Secretário: Uma vez escolhido o presidente, essa pessoa já ocupa um cargo e, pela regra da representatividade, o seu cônjuge não pode ocupar nenhum outro. Assim, das $20$ pessoas iniciais, devemos excluir o presidente eleito e o seu cônjuge. Restam, portanto, $20 - 2 = 18$ pessoas elegíveis. Logo, temos $18$ opções para o cargo de secretário.

3. Escolha do Tesoureiro: Agora já temos o presidente e o secretário definidos. O secretário escolhido também tem um cônjuge que deve ser excluído das próximas escolhas. Retirando o secretário e o seu cônjuge do grupo de $18$ pessoas que restavam, sobram $18 - 2 = 16$ pessoas elegíveis. Assim, temos $16$ opções para o cargo de tesoureiro.

Por fim, aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos as possibilidades de cada etapa para encontrar o número total de diretorias diferentes que podem ser formadas:

$20 \times 18 \times 16$

Analisando as alternativas, vemos que esse resultado corresponde exatamente à alternativa B.