Questão 161 do ENEM 2016 — Matemática

Entendendo o Problema

A empresa deseja cercar um espaço retangular para o público. Vamos chamar as dimensões desse retângulo de $x$ e $y$, onde $x$ representa a medida dos lados paralelos ao palco e $y$ a medida dos outros dois lados.

O objetivo é encontrar a maior área possível para esse espaço, respeitando o orçamento de R$ 5.000,00 para a compra das telas.

Equacionando o Custo

Sabemos que o espaço é retangular, logo possui quatro lados: dois de medida $x$ e dois de medida $y$.

• Tela tipo A: Será usada nos dois lados paralelos ao palco (medida $x$). A quantidade total dessa tela será $2x$. Como o metro custa R$ 20,00, o custo com a tela A será $20 \cdot 2x = 40x$.
• Tela tipo B: Será usada nos outros dois lados (medida $y$). A quantidade total dessa tela será $2y$. Como o metro custa R$ 5,00, o custo com a tela B será $5 \cdot 2y = 10y$.

O gasto total deve ser exatamente o orçamento disponível para maximizarmos a área. Assim, montamos a equação de custo: $40x + 10y = 5000$

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $10$: $4x + y = 500$

Isolando a variável $y$, obtemos uma relação entre as duas dimensões: $y = 500 - 4x$

Maximizando a Área

A área $A$ de um retângulo é dada pelo produto de suas dimensões: $A = x \cdot y$

Substituindo o valor de $y$ que encontramos na equação de custo, teremos a área em função apenas de $x$: $A(x) = x \cdot (500 - 4x)$ $A(x) = -4x^2 + 500x$

Chegamos a uma função quadrática (do 2º grau) onde o coeficiente de $x^2$ é negativo ($-4$). Isso significa que o gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, possuindo um ponto de máximo no seu vértice.

Para encontrar o valor de $x$ que maximiza a área, calculamos o $x$ do vértice ($x_v$) usando a fórmula $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{500}{2 \cdot (-4)}$ $x_v = \frac{-500}{-8}$ $x_v = 62,5 \text{ m}$

Agora que sabemos que $x = 62,5 \text{ m}$, podemos encontrar a dimensão $y$: $y = 500 - 4 \cdot (62,5)$ $y = 500 - 250$ $y = 250 \text{ m}$

Calculando a Quantidade de Tela

Atenção ao comando da questão! Ela não pede as dimensões $x$ e $y$ do terreno, mas sim a quantidade de cada tipo de tela que deve ser comprada.

• Quantidade da tela tipo A: Corresponde a $2x$. $2 \cdot 62,5 = 125 \text{ m}$
• Quantidade da tela tipo B: Corresponde a $2y$. $2 \cdot 250 = 500 \text{ m}$

Portanto, a empresa deve comprar $125,0 \text{ m}$ da tela tipo A e $500,0 \text{ m}$ da tela tipo B.