Questão 167 do ENEM 2013 — Matemática

Entendendo o problema

A questão nos apresenta uma peça de argila com base retangular de dimensões $30\text{ cm}$ e $15\text{ cm}$. Após o cozimento, essas dimensões sofrem uma redução de $20\%$. O nosso objetivo é descobrir qual foi a redução percentual da área dessa base em relação à área original.

Calculando as áreas

Primeiro, vamos calcular a área original da base da peça. Como se trata de um retângulo, a área é o produto de seus lados: $A_{\text{original}} = 30 \times 15 = 450\text{ cm}^2$

Agora, precisamos encontrar as novas dimensões da peça após a redução de $20\%$. Reduzir um valor em $20\%$ é o mesmo que calcular $80\%$ desse valor (ou multiplicá-lo por $0,8$).

• Novo comprimento: $30 \times 0,8 = 24\text{ cm}$
• Nova largura: $15 \times 0,8 = 12\text{ cm}$

Com as novas dimensões, calculamos a área da peça após o cozimento: $A_{\text{nova}} = 24 \times 12 = 288\text{ cm}^2$

Encontrando a redução percentual

Para saber o quanto a área foi reduzida, calculamos a diferença entre a área original e a nova área: $\text{Redução} = 450 - 288 = 162\text{ cm}^2$

Por fim, para descobrir a redução percentual em relação à área original, dividimos o valor da redução pela área original: $\frac{162}{450} = 0,36$

Multiplicando por $100$ para transformar em porcentagem, temos que a área foi reduzida em $36\%$.

Um atalho valioso

Existe uma forma mais direta de resolver essa questão sem precisar calcular as áreas exatas. Quando todas as dimensões lineares de uma figura bidimensional são multiplicadas por um fator $k$, a sua área é multiplicada por $k^2$.

Como os lados foram reduzidos em $20\%$, eles passaram a valer $80\%$ do original, ou seja, o fator de multiplicação é $k = 0,8$. A nova área será multiplicada por: $k^2 = (0,8)^2 = 0,64$

Isso significa que a nova área corresponde a $64\%$ da área original. Logo, a redução sofrida foi de: $100\% - 64\% = 36\%$

Ambos os caminhos nos levam à mesma conclusão, confirmando que a área da base ficou reduzida em $36\%$.