Questão 137 do ENEM 2012 — Matemática

Entendendo a geometria do problema

A questão pede para compararmos o perímetro de dois losangos. Cada losango é formado ligando os centros de circunferências que se tocam (tangentes externamente), conforme a configuração ilustrada nas figuras.

O princípio-chave é este: quando duas circunferências são tangentes externamente, a distância entre seus centros é igual à soma dos raios. É essa distância que forma cada lado do losango.

Analisando a Figura 1

Na configuração da Figura 1, cada lado do losango liga os centros de duas circunferências tangentes de mesmo raio. Chamando esse raio de $r$, a medida de cada lado é a soma de dois raios iguais:

$L_1 = r + r = 2r$

Como o losango tem quatro lados de mesma medida, o perímetro inicial é:

$P_1 = 4 \times 2r = 8r$

Analisando a Figura 2

Na Figura 2, o enunciado informa que o raio de duas das circunferências (em vértices opostos do losango) foi dobrado, mantendo-se as tangências. Assim, cada lado do losango passa a ligar o centro de uma circunferência de raio $r$ ao centro de uma circunferência de raio $2r$. A nova medida do lado é:

$L_2 = r + 2r = 3r$

E o novo perímetro fica:

$P_2 = 4 \times 3r = 12r$

Calculando o aumento percentual

O aumento absoluto do perímetro é a diferença entre os dois valores:

$\text{Aumento} = P_2 - P_1 = 12r - 8r = 4r$

Para obter o aumento percentual, dividimos esse aumento pelo valor original (o perímetro da Figura 1):

$\frac{4r}{8r} = \frac{1}{2} = 0,5 = 50\%$

Conclusão

O perímetro do losango teve um aumento de $50\%$ em relação ao original. Repare no cuidado essencial desta etapa: o novo perímetro passou a valer $150\%$ do antigo, mas o aumento foi de $50\%$ — não confunda o valor final com a taxa de crescimento.

Portanto, a alternativa correta é a E.