Questão 164 do ENEM 2020 — Matemática

O caminho aqui é ligar a distância que cada atleta percorre na curva ao ângulo central que essa curva representa e, com isso, achar o ângulo entre os dois pontos de partida.

A distância percorrida na curva

Os dois atletas percorrem a mesma distância total $L$, formada pelo trecho curvo mais o trecho reto final. Como o trecho reto tem o mesmo comprimento $l$ nas duas pistas, o comprimento do arco (a parte curva) percorrido por cada atleta é o mesmo: $s = L - l$

Relacionando arco, raio e ângulo

O enunciado nos dá que o comprimento de um arco é o produto do raio pelo ângulo em radianos: $s = R \cdot \theta \implies \theta = \frac{s}{R} = \frac{L - l}{R}$

Conforme a figura, os pontos de partida estão em semicírculos de raios diferentes centrados em $C$: $P_1$ sobre o de raio $R_1$ e $P_2$ sobre o de raio $R_2$. Para cada um, o ângulo central varrido ao percorrer o arco $s = L - l$ é: $\theta_1 = \frac{L - l}{R_1} \qquad \theta_2 = \frac{L - l}{R_2}$

O ângulo $P_2 \widehat{C} P_1$

O ângulo $P_2 \widehat{C} P_1$ indicado na figura é a diferença entre esses dois ângulos centrais. Como o raio associado a $R_2$ é menor do que o associado a $R_1$, temos $\theta_2 > \theta_1$ (para cobrir o mesmo comprimento de arco, o raio menor exige um ângulo maior). Logo: $P_2 \widehat{C} P_1 = \theta_2 - \theta_1 = \frac{L - l}{R_2} - \frac{L - l}{R_1}$

Colocando o fator comum $(L - l)$ em evidência: $P_2 \widehat{C} P_1 = (L - l)\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)$

A razão pedida

O comando pede a razão do ângulo $P_2 \widehat{C} P_1$ pela diferença $L - l$: $\frac{P_2 \widehat{C} P_1}{L - l} = \frac{(L - l)\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)}{L - l}$

Simplificando o fator $(L - l)$, que aparece no numerador e no denominador: $\frac{P_2 \widehat{C} P_1}{L - l} = \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}$

Esse resultado corresponde à alternativa C.