Questão 178 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos primeiro entender como a nota final ($NF$) de cada candidato é calculada e quais são as regras de desempate.

A fórmula dada para a nota final é uma média ponderada das três fases: $NF = 0,4 \times F_1 + 0,1 \times F_2 + 0,5 \times F_3$

Analisando o primeiro participante

O enunciado nos diz que o primeiro participante tirou $7,0$ na primeira fase ($F_1$), $7,0$ na segunda fase ($F_2$) e $10,0$ na terceira fase ($F_3$). Vamos calcular a sua nota final: $NF_1 = 0,4 \times 7,0 + 0,1 \times 7,0 + 0,5 \times 10,0$ $NF_1 = 2,8 + 0,7 + 5,0$ $NF_1 = 8,5$

Analisando o segundo participante

O segundo participante obteve nota $8,0$ na primeira fase ($F_1$) e $8,0$ na segunda fase ($F_2$). Ele ainda vai realizar a terceira fase, então vamos chamar a nota que ele vai tirar de $x$. A expressão para a nota final dele será: $NF_2 = 0,4 \times 8,0 + 0,1 \times 8,0 + 0,5 \times x$ $NF_2 = 3,2 + 0,8 + 0,5x$ $NF_2 = 4,0 + 0,5x$

Critério de desempate e nota mínima

Para que o segundo participante alcance a primeira colocação, a nota final dele ($NF_2$) deve ser maior ou igual à nota final do primeiro participante ($NF_1$).

Mas por que "igual" serve? O enunciado afirma que, em caso de empate na nota final, o candidato com a maior nota na primeira fase ($F_1$) vence. Como o segundo participante tirou $8,0$ na primeira fase e o primeiro participante tirou $7,0$, o segundo participante ganha no desempate! Portanto, basta que as notas finais sejam iguais para ele ficar em primeiro lugar.

Montando a inequação: $NF_2 \geq NF_1$ $4,0 + 0,5x \geq 8,5$

Agora, isolamos o $x$: $0,5x \geq 8,5 - 4,0$ $0,5x \geq 4,5$ $x \geq \frac{4,5}{0,5}$ $x \geq 9,0$

Isso significa que o segundo participante precisa tirar, no mínimo, $9,0$ na terceira fase. Vale lembrar que o enunciado exige uma nota mínima de $6,0$ em cada fase para não ser desclassificado. Como $9,0$ é maior que $6,0$, essa condição também está perfeitamente satisfeita.

Portanto, a nota mínima que ele deverá obter na terceira fase é $9,0$.