Questão 165 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar as duas etapas do sorteio descritas no enunciado e identificar qual conceito de análise combinatória se aplica a cada uma delas. A grande pergunta que sempre devemos fazer em problemas de contagem é: "A ordem de escolha dos elementos importa para o resultado final?"

• Se a ordem não importa, estamos lidando com uma combinação.
• Se a ordem importa, estamos lidando com um arranjo.

Vamos aplicar essa regra de ouro a cada etapa do problema.

Primeira Etapa: Formação do Grupo A

O enunciado diz que, de um total de $12$ times, serão sorteados $4$ para compor o Grupo A.

Imagine que os times sorteados foram A, B, C e D. Se a ordem do sorteio fosse D, C, B e A, o grupo formado seria diferente? Não. O Grupo A continuaria sendo composto exatamente pelos mesmos quatro times. Como a ordem em que os times são escolhidos não altera o grupo final, a quantidade de escolhas possíveis é calculada através de uma combinação.

Segunda Etapa: O Jogo de Abertura

Em seguida, entre os $4$ times do Grupo A, serão sorteados $2$ times para o jogo de abertura. Aqui, o enunciado traz um detalhe fundamental: "o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante".

Vamos pensar novamente na ordem. Se sortearmos primeiro o time A e depois o time B, o jogo será: Time A (mandante) $\times$ Time B (visitante). Por outro lado, se sortearmos primeiro o time B e depois o time A, o jogo será: Time B (mandante) $\times$ Time A (visitante).

Perceba que os cenários são diferentes, pois o local da partida mudou. Como a ordem de escolha cria resultados distintos (devido aos papéis específicos de mandante e visitante), a quantidade de escolhas possíveis é calculada através de um arranjo.

Conclusão

Analisando as duas etapas, concluímos que a primeira escolha (formar o grupo) é uma combinação e a segunda escolha (definir o jogo com mandante e visitante) é um arranjo.

Portanto, a quantidade total de escolhas pode ser calculada através de uma combinação e um arranjo, respectivamente, o que nos leva à alternativa correta.