Questão 160 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos modelar matematicamente o custo do serviço de cada empresa em função do tempo de duração do trabalho.

Vamos chamar de $h$ a quantidade de horas de serviço prestado. O custo total de cada empresa é formado por uma parte fixa somada a uma parte variável (que depende das horas trabalhadas).

Para a empresa X, o valor fixo é de R$ 60,00 e o valor por hora é de R$ 18,00. Assim, a função que descreve o custo da empresa X é: $C_X(h) = 60 + 18h$

Para a empresa Y, o valor fixo é de R$ 24,00 e o valor por hora é desconhecido. Vamos chamar esse valor por hora de $y$. A função do custo da empresa Y será: $C_Y(h) = 24 + yh$

A estratégia da empresa Y exige que o seu custo total seja menor ou igual ao da empresa X para trabalhos de até $2$ horas de duração. Em linguagem matemática, isso significa que: $C_Y(h) \le C_X(h)$ para qualquer valor de $h$ no intervalo de $0$ a $2$.

Como ambas as funções são retas (funções afins) e o custo inicial da empresa Y ($24$) já é menor que o da empresa X ($60$), a condição mais crítica (onde o custo da empresa Y mais se aproxima do custo da empresa X) ocorrerá no tempo máximo estipulado pela estratégia, ou seja, quando $h = 2$.

Vamos então calcular os custos para $h = 2$ e aplicar a condição da estratégia: $C_Y(2) \le C_X(2)$

Substituindo as funções que montamos: $24 + y \cdot 2 \le 60 + 18 \cdot 2$

Agora, basta resolvermos essa inequação para encontrar o valor de $y$: $24 + 2y \le 60 + 36$ $24 + 2y \le 96$

Subtraindo $24$ de ambos os lados: $2y \le 96 - 24$ $2y \le 72$

Dividindo por $2$: $y \le \frac{72}{2}$ $y \le 36$

Portanto, para que a estratégia de mercado seja atendida, o valor máximo que a empresa Y poderá cobrar por hora de serviço é de R$ 36,00.