Questão 146 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos lembrar como calcular o número total de divisores de um número inteiro a partir de sua decomposição em fatores primos.

O Cálculo do Número de Divisores

Quando um número $N$ está decomposto em fatores primos na forma: $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \cdots$

O número total de divisores positivos de $N$ é encontrado somando-se $1$ a cada um dos expoentes e multiplicando os resultados: $\text{Total de divisores} = (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot (a_3 + 1) \cdots$

No problema, o número $N$ já nos é dado em sua forma fatorada: $N = 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z$

Aplicando a regra, o número total de divisores de $N$ será a multiplicação dos sucessores de seus expoentes: $\text{Total de divisores} = (x + 1) \cdot (y + 1) \cdot (z + 1)$

A Condição "Diferentes de N"

A questão pede o número de divisores de $N$ que sejam diferentes de $N$.

Sabemos que todo número é divisor dele mesmo (por exemplo, $10$ é divisível por $10$). Como queremos excluir o próprio $N$ da nossa contagem, basta subtrair $1$ do total de divisores que encontramos. Assim, a expressão procurada é: $\text{Divisores diferentes de } N = (x + 1) \cdot (y + 1) \cdot (z + 1) - 1$

E as informações extras?

O enunciado nos diz que $N$ é múltiplo de $10$ e não é múltiplo de $7$. O que isso significa na prática?

• Se $N$ é múltiplo de $10$ (que é $2 \cdot 5$), ele precisa ter pelo menos um fator $2$ e um fator $5$. Logo, $x \geq 1$ e $y \geq 1$.
• Se $N$ não é múltiplo de $7$, ele não pode ter o fator $7$ em sua decomposição. Isso obriga o expoente $z$ a ser igual a $0$.

Se substituirmos $z = 0$ na nossa expressão, teríamos: $(x + 1) \cdot (y + 1) \cdot (0 + 1) - 1 = (x + 1) \cdot (y + 1) - 1$

Porém, ao analisar as alternativas, notamos que a banca optou por manter a expressão em sua forma geral, sem substituir o $z$. Como a expressão $(x + 1) \cdot (y + 1) \cdot (z + 1) - 1$ continua sendo matematicamente correta (já que para $z=0$ o termo $(z+1)$ vale $1$ e não altera o produto), ela é a resposta exata para o problema. As informações sobre os múltiplos serviram apenas para testar a segurança do aluno em relação à fórmula geral e como distratores.