Questão 156 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos organizar $8$ pessoas em $4$ duplas, respeitando uma restrição muito importante: os $2$ jogadores canhotos não podem formar uma dupla entre si.

Vamos dividir o problema em etapas lógicas, garantindo que a restrição seja atendida desde o início.

Entendendo o cenário

Temos um total de $8$ amigos, divididos em dois grupos:

• $2$ canhotos
• $6$ destros

Como os canhotos não podem jogar juntos, a estratégia mais segura é separá-los logo de cara e escolher um parceiro destro para cada um deles. Depois, organizamos os destros que sobrarem.

Etapa 1: Escolhendo os parceiros dos canhotos

Imagine os dois canhotos, vamos chamá-los de $C_1$ e $C_2$, aguardando seus parceiros.

1. Para o canhoto $C_1$, temos $6$ destros disponíveis. Portanto, há $6$ opções de escolha para formar a primeira dupla.
2. Para o canhoto $C_2$, restam agora $5$ destros disponíveis (pois um já foi escolhido por $C_1$). Portanto, há $5$ opções de escolha para formar a segunda dupla.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de maneiras de formar essas duas primeiras duplas mistas é: $6 \times 5 = 30 \text{ maneiras}$

Etapa 2: Formando as duplas com os destros restantes

Após formar as duplas dos canhotos, sobraram $4$ destros sem parceiro. Precisamos dividi-los em $2$ duplas.

Aqui mora uma armadilha clássica de Análise Combinatória! Se fôssemos simplesmente escolher $2$ pessoas entre as $4$, faríamos uma combinação simples $C_{4,2}$: $C_{4,2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

No entanto, $6$ não é o número correto de formar essas duplas. Por quê? Porque a ordem das duplas não importa no torneio.

Imagine que os $4$ destros sejam André, Bruno, Carlos e Daniel. Se escolhermos (André e Bruno) para a primeira dupla, automaticamente (Carlos e Daniel) formam a segunda. Se escolhermos (Carlos e Daniel) para a primeira dupla, (André e Bruno) formam a segunda. O cenário final é exatamente o mesmo!

Para corrigir essa contagem dupla, precisamos dividir o resultado por $2!$ (que é o número de permutações entre as $2$ duplas formadas): $\frac{6}{2!} = 3 \text{ maneiras}$

(Dica: Você pode até listar mentalmente. As únicas formas de agrupar A, B, C e D em pares são: AB com CD; AC com BD; e AD com BC. Exatamente $3$ formas!)

Calculando o total de maneiras

Agora que resolvemos todas as etapas, basta multiplicar as possibilidades de cada uma para encontrar o total de maneiras de formar as $4$ duplas para o torneio:

$\text{Total} = (\text{Maneiras de casar os canhotos}) \times (\text{Maneiras de agrupar os destros restantes})$ $\text{Total} = 30 \times 3 = 90$

Portanto, existem $90$ maneiras diferentes de formar essas quatro duplas respeitando a regra do torneio.