Questão 151 do ENEM 2013 (Matemática)

Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

I — é a circunferência de equação x² + y² = 9;
II — é a parábola de equação y = − x² − 1, com x variando de −1 a 1;
III — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2);
IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
V — é o ponto (0, 0).

A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.

O enunciado descreve algebricamente cinco conjuntos, e precisamos identificar entre as figuras aquela que representa todos eles corretamente ao mesmo tempo. A estratégia é deduzir as características de cada conjunto pela álgebra e usá-las como critérios de eliminação.

Conjunto I — a circunferência

A equação é $x^2 + y^2 = 9$ . A forma reduzida de uma circunferência centrada na origem é $x^2 + y^2 = R^2$ , então:

$R^2 = 9 \Rightarrow R = 3$

O raio é 3, e não 9. Cuidado com o distrator: o número $9$ é o raio ao quadrado, não o raio. A figura correta deve mostrar uma circunferência que cruza os eixos em $\pm 3$ , ocupando poucas casas da malha — não uma que chega perto de $\pm 9$ .

Conjunto II — a parábola

A equação é $y = -x^2 - 1$ , com $x$ entre $-1$ e $1$ . Duas observações são decisivas:

O coeficiente de $x^2$ é negativo ( $-1$ ), então a concavidade é voltada para baixo.
O vértice está em $x = 0$ : $y = -(0)^2 - 1 = -1$ , ou seja, no ponto $(0, -1)$ , abaixo do eixo $x$ .

Nos extremos, $x = \pm 1$ dá $y = -1 - 1 = -2$ , então a parábola vai de $(-1,-2)$ a $(1,-2)$ , passando pelo vértice $(0,-1)$ . A figura correta precisa mostrar essa pequena parábola "de boca para baixo" logo abaixo da origem.

Conjuntos III, IV e V — os quadrados e o ponto

III: quadrado de vértices $(-2,1)$ , $(-1,1)$ , $(-1,2)$ , $(-2,2)$ — lado 1, no segundo quadrante (acima e à esquerda da origem).
IV: quadrado de vértices $(1,1)$ , $(2,1)$ , $(2,2)$ , $(1,2)$ — lado 1, no primeiro quadrante (acima e à direita da origem).
V: o ponto $(0,0)$ , na origem.

Os dois quadradinhos funcionam como "olhos" e o ponto na origem como um "nariz".

Juntando os critérios

A figura correta é a única que reúne, ao mesmo tempo: circunferência de raio 3, parábola com concavidade para baixo e vértice em $(0,-1)$ , os dois quadrados de lado 1 acima da origem e o ponto na origem. As figuras que exibem raio 9, ou parábola com a boca para cima, ou vértice acima do eixo $x$ , não satisfazem todos os conjuntos e ficam descartadas.

A figura que atende a todos esses critérios é a da alternativa E.

Questão 151 do ENEM 2013 — Matemática

Resolução comentada

Conjunto I — a circunferência

Conjunto II — a parábola

Conjuntos III, IV e V — os quadrados e o ponto

Juntando os critérios