Questão 178 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver esse problema, vamos organizar as informações dadas no enunciado e traduzi-las para a linguagem matemática criando um sistema de equações.

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para as quantidades desconhecidas:

• $x$: quantidade de alunos que compraram $3$ bilhetes.
• $z$: quantidade de alunos que compraram $1$ bilhete.
• $T$: número total de alunos do colégio.
• $B$: número total de bilhetes vendidos.

O enunciado nos diz que $80$ alunos faltaram e não compraram bilhetes, e que entre os presentes, $x$ compraram $3$ bilhetes, $45$ compraram $2$ bilhetes e $z$ compraram $1$ bilhete. Com isso, podemos expressar o total de alunos do colégio ($T$) somando todos esses grupos: $T = 80 + x + 45 + z$ $T = x + z + 125$

Também podemos expressar o total de bilhetes vendidos ($B$) multiplicando a quantidade de alunos pelo número de bilhetes que cada um comprou: $B = 3 \cdot x + 2 \cdot 45 + 1 \cdot z$ $B = 3x + z + 90$

Agora, vamos analisar as duas condições finais dadas no problema:

Condição 1: O total de alunos que comprou um único bilhete ($z$) era $20\%$ do número total de bilhetes vendidos ($B$). $z = 0,20B$ Multiplicando ambos os lados por $5$ (já que $20\%$ é o mesmo que $\frac{1}{5}$), temos: $B = 5z$

Condição 2: O total de bilhetes vendidos ($B$) excedeu em $33$ o número total de alunos do colégio ($T$). $B = T + 33$

Podemos substituir a expressão que encontramos para $T$ nesta segunda condição: $B = (x + z + 125) + 33$ $B = x + z + 158$

Neste ponto, temos duas expressões diferentes que representam o total de bilhetes ($B$). Podemos igualá-las para encontrar o valor de $x$: $3x + z + 90 = x + z + 158$

Note que a variável $z$ aparece dos dois lados da equação, então podemos cancelá-la subtraindo $z$ de ambos os lados: $3x + 90 = x + 158$ $3x - x = 158 - 90$ $2x = 68$ $x = 34$

Descobrimos que $34$ alunos compraram $3$ bilhetes. Agora, vamos substituir esse valor de $x$ na equação $B = x + z + 158$: $B = 34 + z + 158$ $B = z + 192$

Lembrando da nossa Condição 1, sabemos que $B = 5z$. Substituindo $B$ por $5z$ na equação acima, ficamos apenas com a variável $z$, que é exatamente o que a questão pede: $5z = z + 192$ $5z - z = 192$ $4z = 192$ $z = \frac{192}{4}$ $z = 48$

Portanto, o número de alunos que compraram somente um bilhete é $48$.