Questão 175 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos imaginar as formas que surgem quando "fatiamos" uma pirâmide de base quadrada com um plano. A interseção de um plano com um poliedro é sempre um polígono, e cada lado desse polígono corresponde à linha onde o plano corta uma das faces do sólido.

Uma pirâmide regular de base quadrada tem $5$ faces: $1$ base quadrada e $4$ faces laterais triangulares. Como o plano pode cortar, no máximo, todas as faces, o polígono resultante terá, no máximo, $5$ lados. Ou seja, podemos obter polígonos de $3$, $4$ ou $5$ lados. Vamos analisar cada caso.

Triângulos ($3$ lados)

Se o plano cortar exatamente três faces, a interseção será um triângulo. Isso ocorre, por exemplo, quando o plano passa pelo vértice da pirâmide e corta a base, ou quando corta um "canto" interceptando a base e duas faces laterais adjacentes.

Quadriláteros ($4$ lados)

Quando o plano corta quatro faces, obtemos um quadrilátero. Dependendo da inclinação:

• Quadrados: se o plano for paralelo à base, ele corta as quatro faces laterais e, por regularidade, a secção é um quadrado.
• Trapézios: se o plano for inclinado, mas paralelo a uma das arestas da base, o polígono formado terá dois lados paralelos, caracterizando um trapézio.
• Quadriláteros irregulares: se o plano cortar quatro faces de forma inclinada e sem ser paralelo a nenhuma aresta da base, os quatro lados terão medidas e inclinações diferentes, resultando em um quadrilátero irregular.

Pentágonos ($5$ lados)

Para obter um polígono de cinco lados, o plano deve cortar todas as $5$ faces. Isso é possível quando o plano entra cortando a base e sai cortando as quatro faces laterais, gerando um pentágono.

Como a pirâmide tem apenas $5$ faces, é impossível obter um polígono com $6$ ou mais lados (como um hexágono).

Reunindo as possibilidades, o artista pode obter triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, o que corresponde à alternativa E.