Questão 172 do ENEM 2012 — Matemática

A ideia central aqui é que o compartimento não muda: ele é o mesmo objeto físico nas duas propostas de arrumação. Logo, sua largura total e sua altura total têm de dar o mesmo valor, seja qual for a forma de encaixar as caixas. Vamos traduzir cada disposição em expressões algébricas usando as medidas $a$ e $b$ da caixa e depois igualá-las.

Escrevendo as dimensões na Figura 1

Na primeira arrumação, as caixas aparecem deitadas, com dimensão horizontal $a$ e vertical $b$, dispostas em 5 colunas por 2 linhas. Somando as caixas e as folgas indicadas nas bordas, chega-se a:

• Largura: cinco larguras $a$ mais as folgas laterais de $2\text{ cm}$ e $3\text{ cm}$, ou seja, $5a + 2 + 3 = 5a + 5$.
• Altura: duas alturas $b$ mais a folga de $2\text{ cm}$ no topo, isto é, $2b + 2$.

Escrevendo as dimensões na Figura 2

Na segunda proposta, as caixas foram giradas e reorganizadas em 3 colunas por 4 linhas, preenchendo o espaço sem folgas. Com a rotação, as dimensões que ocupam cada direção se invertem:

• Largura: três caixas cuja dimensão horizontal agora é $b$, resultando em $3b$.
• Altura: quatro caixas cuja dimensão vertical agora é $a$, resultando em $4a$.

Montando e resolvendo o sistema

Como o compartimento é o mesmo, igualamos largura com largura e altura com altura:

1. Larguras: $5a + 5 = 3b$

2. Alturas: $2b + 2 = 4a$

Temos um sistema linear com duas incógnitas. Vamos resolvê-lo por substituição. Simplificando a segunda equação (dividindo tudo por $2$): $b + 1 = 2a \implies b = 2a - 1$

Substituindo na primeira equação: $5a + 5 = 3(2a - 1)$ $5a + 5 = 6a - 3$ $5 + 3 = 6a - 5a$ $a = 8\text{ cm}$

Voltando à expressão de $b$: $b = 2(8) - 1 = 16 - 1 = 15\text{ cm}$

Como obtivemos valores positivos e coerentes para as medidas da caixa ($a = 8\text{ cm}$ e $b = 15\text{ cm}$), a troca de arrumação é de fato possível: existe um compartimento que comporta as duas disposições.

Dimensões do compartimento

Usando as expressões mais simples da Figura 2:

• Largura: $3b = 3 \cdot 15 = 45\text{ cm}$
• Altura: $4a = 4 \cdot 8 = 32\text{ cm}$

Portanto, a nova disposição de caixas se acomoda perfeitamente em um compartimento de $32\text{ cm}$ de altura por $45\text{ cm}$ de largura, o que confirma a alternativa E.