Questão 140 do ENEM 2020 — Matemática

Vamos calcular o número de anagramas que podemos formar com as letras do nome "EDUARDO", respeitando duas condições importantes: as letras "edu" devem permanecer juntas e nessa exata ordem, e o anagrama que forma a palavra original "eduardo" não pode ser utilizado.

Sempre que um problema de análise combinatória exige que determinados elementos fiquem juntos, utilizamos a técnica do bloco. Essa técnica consiste em agrupar esses elementos e tratá-los como se fossem um único item na hora de embaralhar.

Vamos analisar as letras do nome EDUARDO: $\text{E}$, $\text{D}$, $\text{U}$, $\text{A}$, $\text{R}$, $\text{D}$, $\text{O}$. Como a sequência "edu" deve aparecer junta e na mesma ordem, nós a transformamos em um bloco indivisível: $[\text{EDU}]$.

Após formar esse bloco, verificamos quais letras sobraram soltas. Foram utilizadas as letras $\text{E}$, $\text{D}$ e $\text{U}$, restando as letras $\text{A}$, $\text{R}$, $\text{D}$ e $\text{O}$.

Agora, vamos contar quantos elementos temos no total para permutar (embaralhar):

1. O bloco $[\text{EDU}]$
2. A letra $\text{A}$
3. A letra $\text{R}$
4. A letra $\text{D}$
5. A letra $\text{O}$

Temos, portanto, $5$ elementos. Note que, embora o nome original tenha duas letras $\text{D}$, uma delas está "presa" dentro do bloco e a outra está solta. Logo, os $5$ elementos que vamos embaralhar são todos distintos entre si, e não é necessário dividir por nenhum fatorial de repetição.

Para descobrir de quantas formas podemos organizar esses $5$ elementos, calculamos uma permutação simples de $5$ elementos ($P_5$): $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Isso significa que existem $120$ maneiras de organizar as letras mantendo "edu" juntos. No entanto, o enunciado nos dá uma última restrição: o e-mail "[email protected]" já foi criado por outro usuário.

A palavra "eduardo" corresponde a exatamente uma dessas $120$ combinações (aquela em que o bloco $[\text{EDU}]$ é seguido pelas letras $\text{A}$, $\text{R}$, $\text{D}$ e $\text{O}$, nessa ordem). Como Eduardo não pode usar essa combinação, precisamos subtraí-la do total: $\text{Maneiras válidas} = 120 - 1 = 119$

Portanto, Eduardo pode criar seu e-mail de $119$ maneiras diferentes.