Questão 180 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos utilizar a fórmula da magnitude na escala Richter fornecida no enunciado e aplicar as propriedades dos logaritmos para encontrar a relação entre as energias liberadas pelos dois terremotos.

O enunciado nos dá a seguinte equação: $M = \frac{2}{3} \log \left( \frac{E}{E_0} \right)$

Temos as informações de dois terremotos:

• Terremoto no Japão: magnitude $M_1 = 9,0$ e energia $E_1$.
• Terremoto na China: magnitude $M_2 = 7,0$ e energia $E_2$.

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos duas equações: Para o Japão: $9,0 = \frac{2}{3} \log \left( \frac{E_1}{E_0} \right)$

Para a China: $7,0 = \frac{2}{3} \log \left( \frac{E_2}{E_0} \right)$

Nosso objetivo é encontrar a relação entre $E_1$ e $E_2$. Uma maneira muito eficiente de fazer isso é subtrair a segunda equação da primeira. Vamos ver como fica: $9,0 - 7,0 = \frac{2}{3} \log \left( \frac{E_1}{E_0} \right) - \frac{2}{3} \log \left( \frac{E_2}{E_0} \right)$

Isolando o fator comum $\frac{2}{3}$ no lado direito e resolvendo a subtração no lado esquerdo: $2,0 = \frac{2}{3} \left[ \log \left( \frac{E_1}{E_0} \right) - \log \left( \frac{E_2}{E_0} \right) \right]$

Agora, vamos lembrar de uma propriedade fundamental dos logaritmos: a diferença entre dois logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do quociente de seus logaritmandos, ou seja, $\log(A) - \log(B) = \log\left(\frac{A}{B}\right)$. Aplicando essa propriedade: $2,0 = \frac{2}{3} \log \left( \frac{\frac{E_1}{E_0}}{\frac{E_2}{E_0}} \right)$

Ao dividir as frações dentro do logaritmo, o termo $E_0$ se cancela: $2,0 = \frac{2}{3} \log \left( \frac{E_1}{E_0} \cdot \frac{E_0}{E_2} \right)$ $2,0 = \frac{2}{3} \log \left( \frac{E_1}{E_2} \right)$

Agora, vamos isolar o logaritmo. Passamos o $3$ multiplicando e o $2$ dividindo para o outro lado da igualdade: $\frac{2,0 \cdot 3}{2} = \log \left( \frac{E_1}{E_2} \right)$ $3,0 = \log \left( \frac{E_1}{E_2} \right)$

Lembrando que, quando a base do logaritmo não está escrita, ela é $10$. Pela definição de logaritmo ($\log_b(x) = y \iff b^y = x$), podemos reescrever a equação na forma exponencial: $10^3 = \frac{E_1}{E_2}$

Por fim, isolamos $E_1$ multiplicando ambos os lados por $E_2$: $E_1 = 10^3 \cdot E_2$

Assim, concluímos que a energia liberada pelo terremoto no Japão foi $10^3$ (ou seja, $1000$) vezes maior que a energia liberada pelo terremoto na China.