Questão 170 do ENEM 2018 — Matemática

Para descobrir a expressão matemática que descreve a altura da cadeira da roda-gigante ao longo do tempo, precisamos analisar o gráfico fornecido e extrair suas principais características. O movimento circular de uma roda-gigante é perfeitamente modelado por funções trigonométricas, como o seno ou o cosseno.

Uma função trigonométrica que descreve esse tipo de oscilação tem a seguinte estrutura geral:

$f(t) = A \cdot \text{trig}(t) + D$

Onde:

• $D$ (Deslocamento vertical): Representa o eixo central de oscilação da onda, ou seja, a altura do centro da roda-gigante em relação ao solo.
• $A$ (Amplitude): É a distância do eixo central até o ponto mais alto (ou mais baixo) do gráfico. No contexto físico, representa o raio da roda-gigante.
• $\text{trig}(t)$: É a função trigonométrica (seno ou cosseno) que dita o ritmo do movimento.

Encontrando o Eixo Central ($D$)

Observando o gráfico, vemos que no instante inicial ($t = 0$), a altura da cadeira é de $88$ metros. A partir daí, a cadeira sobe até atingir a altura máxima de $168$ metros, desce passando novamente pelos $88$ metros, atinge um ponto mínimo e volta a subir.

Isso nos mostra que a linha média em torno da qual o gráfico oscila está exatamente na altura de $88$ metros. Portanto, o centro da roda-gigante está a $88$ metros do solo.

$D = 88$

Encontrando a Amplitude ($A$)

A amplitude é a diferença entre a altura máxima atingida e a altura do eixo central. Sabendo que o pico do gráfico é $168$ metros e o eixo central é $88$ metros, podemos calcular o raio da roda-gigante:

$A = 168 - 88 = 80$

Isso significa que a amplitude da nossa função é $80$.

Escolhendo a Função Trigonométrica

Agora precisamos decidir se usaremos a função seno ($\text{sen}$) ou cosseno ($\cos$). Para isso, olhamos para o comportamento do gráfico no instante inicial ($t = 0$):

• A função seno começa no valor zero ($\text{sen}(0) = 0$). Em um gráfico com deslocamento, isso significa que ela parte do eixo central e começa a subir.
• A função cosseno começa no seu valor máximo ($\cos(0) = 1$). Em um gráfico, ela partiria do topo (pico da onda) e começaria a descer.

Como o nosso gráfico começa na altura média ($88$ metros) e, em seguida, a altura aumenta, a função que modela perfeitamente esse comportamento é o seno.

Montando a Equação Final

Substituindo os valores que encontramos na estrutura geral da função:

$f(t) = 80 \cdot \text{sen}(t) + 88$

Podemos testar essa função para ter certeza. Em $t = 0$: $f(0) = 80 \cdot \text{sen}(0) + 88 = 80 \cdot 0 + 88 = 88$ (Correto, é a altura inicial).

Quando a roda gira $90^\circ$ (ou $\frac{\pi}{2}$ radianos), a cadeira atinge o topo. Vamos testar: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 80 \cdot \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) + 88 = 80 \cdot 1 + 88 = 168$ (Correto, é a altura máxima).

Analisando as alternativas, a expressão que encontramos corresponde à alternativa A.