Questão 161 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar as propriedades geométricas do triângulo formado pelas estacas e a relação entre suas áreas.

O enunciado e a imagem nos mostram um triângulo maior, que chamaremos de $\triangle ABC$. Os pontos $M$ e $N$ são, respectivamente, os pontos médios dos lados $BC$ e $AC$.

Quando ligamos os pontos médios de dois lados de um triângulo, formamos um segmento conhecido como base média. O segmento $MN$ é a base média do $\triangle ABC$ em relação ao lado $AB$.

Uma propriedade fundamental da base média é que ela cria um triângulo menor (neste caso, o $\triangle MNC$) que é semelhante ao triângulo original ($\triangle ABC$). Como os pontos $M$ e $N$ dividem os lados exatamente na metade, a razão de semelhança entre os lados do triângulo menor e do triângulo maior é de $\frac{1}{2}$.

Na geometria, existe uma regra muito importante sobre áreas de figuras semelhantes: se a razão entre os comprimentos dos lados é $k$, a razão entre as áreas será $k^2$.

Aplicando essa regra ao nosso problema: $k = \frac{1}{2}$ $\text{Razão das áreas} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Isso significa que a área do $\triangle MNC$ é exatamente $\frac{1}{4}$ da área total do $\triangle ABC$. Em outras palavras, a área do triângulo grande é $4$ vezes a área do triângulo pequeno: $A_{ABC} = 4 \cdot A_{MNC}$

A região que deverá ser calçada com concreto é o quadrilátero (um trapézio) $ABMN$. A área dessa região é simplesmente a área total do triângulo grande subtraída da área do triângulo pequeno que ficou de fora: $A_{ABMN} = A_{ABC} - A_{MNC}$

Substituindo a relação que encontramos: $A_{ABMN} = 4 \cdot A_{MNC} - A_{MNC}$ $A_{ABMN} = 3 \cdot A_{MNC}$

Uma forma visual de entender

Se você marcar o ponto médio $P$ do lado $AB$ e desenhar linhas ligando os três pontos médios ($M$, $N$ e $P$), você dividirá o triângulo original $\triangle ABC$ em exatamente $4$ triângulos menores e idênticos (congruentes).

O triângulo $\triangle MNC$ é apenas $1$ desses triângulos. A região a ser calçada, $ABMN$, é formada pela união dos outros $3$ triângulos menores. Fica evidente, portanto, que a área do quadrilátero $ABMN$ é o triplo da área do $\triangle MNC$.

Concluímos que a área a ser calçada corresponde ao triplo da área do triângulo $MNC$.