Questão 160 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações dadas no enunciado para a linguagem matemática, montando uma equação.

O problema nos diz que a página onde a senha foi anotada é denotada por $n$. A partir disso, podemos determinar as páginas vizinhas:

• A página anterior será $n - 1$.
• A página posterior será $n + 1$.

O enunciado afirma que a soma dos quadrados desses três números (a página da senha, a anterior e a posterior) é igual a $k$. Escrevendo isso em forma de equação, temos:

$(n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 = k$

Agora, precisamos desenvolver os produtos notáveis $(n - 1)^2$ (quadrado da diferença) e $(n + 1)^2$ (quadrado da soma):

• $(n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1$
• $(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$

Substituindo essas expansões de volta na nossa equação original, obtemos:

$(n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = k$

O próximo passo é agrupar os termos semelhantes. Vamos somar os termos com $n^2$, os termos com $n$ e os termos independentes (números):

• Termos com $n^2$: $n^2 + n^2 + n^2 = 3n^2$
• Termos com $n$: $-2n + 2n = 0$ (eles se cancelam)
• Termos independentes: $1 + 1 = 2$

Juntando tudo, a equação simplificada fica:

$3n^2 + 2 = k$

Observando as alternativas fornecidas pela questão, vemos que precisamos isolar o termo $3n^2$. Para isso, subtraímos $2$ de ambos os lados da igualdade:

$3n^2 = k - 2$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa D.