Questão 152 do ENEM 2012 — Matemática

Para que a base quadrada da estátua fique integralmente apoiada sobre a plataforma circular, o quadrado deve caber inteiramente dentro do círculo.

A maior distância entre dois pontos em um quadrado é a sua diagonal. Portanto, para garantir que nenhuma ponta do quadrado fique de fora da plataforma, o diâmetro do círculo deve ser maior ou igual à diagonal do quadrado. O caso limite, que nos dá o tamanho mínimo da plataforma, ocorre quando o quadrado está perfeitamente inscrito no círculo.

Vamos calcular a diagonal ($d$) do quadrado de lado $L$. Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por dois lados e a diagonal, temos: $d^2 = L^2 + L^2$ $d^2 = 2L^2$ $d = L\sqrt{2}$

O diâmetro do círculo é igual a duas vezes o seu raio ($2R$). Como vimos, a condição de segurança exige que o diâmetro do círculo seja maior ou igual à diagonal do quadrado: $2R \geq L\sqrt{2}$

Agora, isolamos o raio $R$: $R \geq \frac{L\sqrt{2}}{2}$

Observando as alternativas, percebemos que a resposta não está escrita exatamente dessa forma. Precisamos reescrever a fração (fazer o processo inverso da racionalização). Lembre-se de que $2 = (\sqrt{2})^2$, então podemos simplificar a expressão: $R \geq \frac{L\sqrt{2}}{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}$ $R \geq \frac{L}{\sqrt{2}}$

Assim, a relação que o auxiliar técnico deverá apresentar para cumprir a exigência de segurança é $R \geq \frac{L}{\sqrt{2}}$.